Ich verstehe die Aufgabe so: Wenn der Verkäufer das Geld nach 1 Monat hat statt nach 3 Monaten, kann er es selber noch 2 Monate zu 6% anlegen. Demnach müsste die Rechnung so sein:
[TEX]9000 \cdot (1 + \frac{6}{100} \cdot \frac{60}{360}) = 9090[/TEX]
Also wäre es besser, nach 1 Monat 9000€ zu nehmen.
Der Ansatz zur Berechnung des Zinssatzes p für Gleichheit wäre dann:
[TEX]9000 \cdot (1 + \frac{p}{100} \cdot \frac{60}{360}) = 9085[/TEX]
Daraus ergibt sich p=5,67%.
Bei Bruchgleichungen muss man immer die Probe machen, es kann nämlich passieren, dass man beim Multiplizieren mit x+3 und 3-x Lösungen "dazu erfindet", die vorher gar nicht da waren.
Einfaches Beispiel: x-3 = 0 hat die Lösung x=+3
Multipliziere ich die Gleichung mit x+3, erhalte ich
x² - 9 = 0 . Diese Gleichung hat die Lösungen x=+3 und x=-3
Probe:
[TEX]\frac{\sqrt{12}+4}{\sqrt{12}+3} + \frac{4-\sqrt{12}}{3-\sqrt{12}}[/TEX] = 7,46/6,46 + 0,54/-0,46 = 0
[TEX]\frac{-\sqrt{12}+4}{-\sqrt{12}+3} + \frac{4-(-\sqrt{12})}{3-(-\sqrt{12})}[/TEX] = 0,54/-0,46 + 7,46/6,46 = 0
Also: Die Ergebnisse von Fluffy sind tatsächlich beides Lösungen.
p : besetzter Tisch -> p=100-8=92%=0,92 -> q=1-p=0,08
P(k=20) = (20 über 20) " p^20 *q^(20-20) = 1 " p^20 * 1 =0,92^20
B) P(k>=18) = P(k=19) + P(k=20) = (20 über 19) * p^19 * q^(20-19) + 0.92^20
Man kann das auch mit p-q-Formel machen:
0=2x^2 +5x |:2
0=x^2 + 2,5x + 0
Also: p=2,5 ; q=0
Kommt selbstverständlich dasselbe raus wie bei Olivius.
A) 1mm pro 12000km, d.h. von 3 auf 1 mm ( 2mm) kann er noch 24000km fahren.
B) prop. 1mm auf 12000km :12 , ×10 ergibt 0,833mm auf 10000km
C) 2x 10000km sind 2x 0.833= 1.667mm ; 4 + 1,67 = 5,67 mm am Anfang
Das geht hier mit einem sehr einfachen Trick: [TEX]\frac{a_{k+1}}{a_k} < 1[/TEX]
[TEX]a_{k+1} = \frac{(2x-1)^{4(k+1)+1}}{4^{(k+1)+1}}[/TEX]
[TEX]a_k = \frac{(2x-1)^{4k+1}}{4^{k+1}}[/TEX]
[TEX]\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(2x-1)^{4k+5}}{4^{k+2}} \cdot \frac{4^{k+1}}{(2x-1)^{4k+1}} = \frac{(2x-1)^4}{4} [/TEX]
-> (2x-1)^4 < 4
-> x < [TEX]\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}[/TEX] = 1,207...
In x1-Richtung geht der Quader von 0 bis 2, in x2-Richtung von 0 bis 6 und in x3-Richtung von 0 bis 2. Wenn man überall die Mitte nimmt, hat man den Mittelpunkt (1|3|1).
Die blaue Diagonale geht durch die Eckpunkte (0|0|2) und (2|6|0). Daraus machst du eine Vektor-Geradengleichung und prüfst, ob der Mittelpunkt drauf liegt.
Entsprechend die andere Diagonale.
Bei den Beispielen habe ich mich spontan gefragt, wie man von der Anzahl der Lose auf die Gewinn-Wahrscheinlichkeiten kommt....
Zur Frage: Wenn man die W-keit berechnen will, überhaupt irgendwas zu gewinnen, berechnet man zunächst die W-keit, nichts zu gewinnen, und zieht diese von 100% ab.
Du müsstest schon mal die kompletten Aufgabe aufschreiben, sonst kann dir keiner helfen.
Ob eine Population stabil ist, hängt von der Anzahl der Nachkommen und der Gefährdung der Art ab.
Der Mensch ist (im Vergleich zu den Tieren) relativ ungefährdet, daher genügen durchschnittlich 2,1 bis 2,2 Nachkommen pro Paar.
Bei einigen Tieren muss die Zahl zum Arterhalt deutlich höher liegen.
Die zweite Gleichung muss lauten:
0,06 x + 0,08 y = 13.600
Dann kommt x = 120.000 und y = 80.000 raus.
Ich denke, die Aufgabe ist so gemeint:
[TEX]\frac{1}{3} (\frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+3}) = \frac{1}{x^2-9}[/TEX]
Man kann links den ersten Bruch mit (x+3) erweitern und den zweiten Bruch mit (x-3), so dass der gleiche Nenner entsteht.
[TEX]\frac{1}{3} (\frac{1 \cdot (x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{2 \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)})[/TEX]
[TEX]\frac{1}{3} (\frac{1 \cdot (x+3) + 2 \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)})[/TEX]
[TEX]\frac{1}{3} (\frac{x+3 + 2x - 6}{(x+3)(x-3)})[/TEX]
[TEX]\frac{1}{3} (\frac{3x-3}{(x+3)(x-3)})[/TEX]
[TEX]\frac{x-1}{(x+3)(x-3)}[/TEX]
(x+3)(x-3) = x² - 9 (3. binomische Formel), also:
[TEX]\frac{x-1}{x^2 - 9}[/TEX]
Wenn das als Gleichung gemeint ist, also:
[TEX]\frac{x-1}{x^2 - 9} = \frac{1}{x^2 - 9}[/TEX]
kann man mit x² - 9 durchmultiplizieren:
x - 1 = 1
x = 2
Alternativ:
[TEX]a + 3 = a \cdot \sqrt{3} \ \ \ | -a[/TEX]
[TEX]3 = a \cdot \sqrt{3} - a = a \cdot (\sqrt{3} - 1)[/TEX]
[TEX]a = \frac{3}{\sqrt{3} - 1} = 4,098[/TEX]
Das ist eine typische Textaufgabe, nur eben auf Oberstufen-Niveau. Reihenfolge: Übersetzen von Realität in Mathe, in Mathe berechnen, Ergebnis zurück übersetzen.
a) Durchschnittliche Zunahme: Endwert minus Anfangswert und das geteilt durch die Anzahl der Tage.
Wichtig hier ist die Angabe t=1 entspr. 1. Tag 12:00 Uhr, d.h. 1.Tag 0:00 Uhr ist t=0,5 und 4.Tag 24:00 Uhr ist t=4,5. Damit ergibt sich ein Durchschnitt von ca. 64 Bäumen pro Tag.
b) momentane Zunahme: Steigung (= 1. Ableitung).
2.Tag 12:00 Uhr entspr. t=2. Ich bekomme da 39,6 raus.
c) Hier stellt sich für mich zum ersten Mal die Frage, welche Hilfsmittel ihr zur Verfügung habt und wie genau die Lösungswege sein sollen. Die Gleichung 3. Grades
[TEX]500 = \frac{277}{144} t^3 + \frac{593}{144} t^2 + 11[/TEX]
allgemein zu lösen ist auch mit Lösungsformel anspruchsvoll. Ich habe einfach in 0,5-er-Schritten weiter eingesetzt und festgestellt, dass die 500 zwischen t=5,5 (6.Tag 0:00 Uhr) und t=6 (6.Tag 12:00 Uhr) überschrtten wird.
d) Der Graph hört ja bei t=20 auf, also musst du mit der Formel weiter arbeiten. Habt ihr einen Taschenrechner, der Nullstellen bestimmen kann? - Ansonsten müsstest du t-Werte ausprobieren oder mit dem Newton'schen Näherungsverfahren arbeiten.
Das geht so: Du wählst einen Schätzwert [TEX]t_0[/TEX] in der Nähe der Nullstelle und berechnest [TEX]t_1 = t_0 - \frac{f(t_0)}{f'(t_0)}[/TEX], entsprechend auch t2, ggf. t3 und t4, dann müsste der Wert schon sehr genau sein, außer wenn f' dort auch =0 ist.
Das ist hier der Fall, aber man sieht trotzdem , dass es nach t=24 läuft.
e) 80% = 400 Bäume, dementsprechend Newton-Näherung [TEX]t_1 = t_0 - \frac{f(t_0)-400}{f'(t_0)}[/TEX] mit Startwerten z.B. 7 und 15.
Es kommen die Werte 7,65 und 15,35 raus, d.h. 7,7 Tage lang über 80% befallen.
f) Das ist eine normale Maximum-Bestimmung mit f'(t)=0 , wieder mit dem Problem einer Gleichung 3. Grades. Also wende ich die Newton-Näherung (Startwert z.B. 11) auf f' an:
[TEX]t_1 = t_0 - \frac{f'(t_0)}{f''(t_0)}[/TEX] und erhalte 11,5.
Den Rest probier mal selber...
Die ursprüngliche Gleichung des Fragestellers war vom Grundgedanken schon gut, die letzten 1300 kamen aber erst nach dem 8. Jahr dazu, d.h.
(((1400 * 1,042^2 + 1800) * 1,042^5) * x + 1300) * x = 5881,14
Das ergibt eine quadratische Gleichung: x^2 + 0,3188 x = 1,442
Von der nur die "+"-Lösung (1,052) sinnvoll ist.
Die Zahlen in der Ebenengleichung sind die Koordinaten des Normalenvektors (senkrecht).
Geradengleichung (5/7/17)+lambda*(2/3/6) in Ebenengleichung einsetzen, lambda berechnen (-2), einsetzen (1/1/5).
0,8=1,25^-1 , d.h. die Verhältnisse im 2. Bsp. sind genau umgekehrt wie im 1.
Korrigiere: Die vorher berechnete zweite Möglichkeit ist wirklich ein Minimum.
[TEX]F(k) = \frac{k^2}{2*ln(k)}[/TEX] , also muss für F(k)=0 gelten: k=0 , aber k soll ja >1 sein.
Also ist das Obige auch die einzige Lösung.
(3) Lösung übersehen: minimal kann's auch sein, wenn die Fläche F(k) selber =0 ist (k=e).
Damit so was nicht passiert, sollte man sich die Funktion immer erstmal zeichnen (GeoGebra, Grafik-TR, per Hand, ...)
An dieser Zeichnung sieht man dann auch, dass die vorher genannte Möglichkeit Nr. 2 ein lokales Maximum ist.
Widerstand der Lampe:
I = P/U = 3W / 6V = 0,5 A -> R = U/I = 6V / 0,5A = 12 Ohm
Man kann die Situation als Reihenschaltung von Kabel und Lampe betrachten. In einer Reihenschaltung ist die Stromstärke überall gleich. Die für das Kabel nötige Spannung kann man mit U = R*I berechnen (2,5V).
Damit ist UG = 6 + 2,5 = 8,5V , also gibt es hier fast 1/3 Leitungsverluste.
Der Einwand von fritz ist schon berechtigt:
Die Lösung 8,855° erfüllt nicht die Gleichung sin(x) = sin(3x).
Die genaue Formulierung der Aufgabe wäre hier nötig.
