Beiträge von Dörrby

Sinnvoll: Erst die Zeiten berechnen (1.2), dann kann man das v(t)-Diagramm genauer zeichnen.

1.2
zweiter Abschnitt: gleichförmige Bewegung -> Es gilt s = v * t -> t = s : v = 60m : 20m/s = 3 s
dritter Abschnitt: beschleunigte Bewegung -> Es gilt v = a * t -> t = v : a = 20m/s : 4m/s² = 5 s

1.1
x-Achse: 1cm = 1s ; y-Achse: 1cm = 2m/s ; "Eckpunkte": (0/0) , (2/20) , (5/20) , (10/0)

1.3
Bremsbeschleunigung: a = 4m/s²
Es gilt: F = m * a -> m = F : a = 240N : 4m/s² = 60 kg

a)
Gewinn wird erzielt, wenn der Erlös E(x) größer ist als die Kosten K(x), also
G(x) = E(x) - K(x) > 0
Formeln einsetzen, zusammen fassen, -1/4 ausklammern:
G(x) = -1/4 * (x³ - 51x + 50)
Probiere Nullstellen -> x=1 -> per Polynomdivision / Horner-Schema (x-1) rausteilen:
G(x) = -1/4 * (x-1) * (x² + x - 50)
Rest mit p-q-Formel -> Nullstellen: -7,589 ; +1 ; +6,589 , wobei die negative keinen Sinn macht.
Also: Im Bereich von 1 bis 6,589 (Stück, 1000 Stück, ??) wird Gewinn gemacht. Per Ableitung kann man noch rausfinden, bei wie viel Stück der größte Gewinn gemacht wird.

b)
Bin ich mir nicht sicher, ich würde sagen: 6,589 - 1 = 5,589

Aus der Ruheposition anhebt? - Doch wohl eher seitlich auslenkt, so dass der Faden gespannt bleibt. Dazu muss der mindestens 20 cm lang sein.

Ein minimaler Effekt kommt hier noch rein: Wenn die Kugel nicht drehbar aufgehängt ist, sondern z.B. mit einem Haken an dem Faden hängt, dann entsteht auch ein Drehimpuls, umso mehr, je kürzer der Faden ist. Dürfte aber nicht viel ausmachen.

Die Hohlkugel hat eine relativ höhere Rotationsenergie durch das höhere Trägheitsmoment, also kommt sie höher als die Vollkugel.

Auf jeder Fachforum-Seite ist ganz oben ein Button "Neuer Beitrag", da kannst du Fragen stellen. Wenn du helfen willst, gibt es in jedem Beitrag unten ein Antwortfeld, für Mathe sogar eine extra Formelformatier-Sprache (siehe erster Beitrag im Matheforum).

F= p * A

Durch den Term vor dem t1^2 teilen. Normieren bei Gleichungen heißt, dass die höchste Potenz der Variablen ohne Vorfaktor steht (also Faktor 1).

Ich musste schockiert feststellen, dass ich nicht mehr sicher rechnen kann. Ich habe 3 Blätter vollgeschrieben, bis ich's endlich hatte.
Aber vielleicht kannst du ja aus meinen Fehlern lernen und selber Techniken zum Finden von Fehlern ausprobieren.

Auf dem ersten Blatt habe ich erstmal mit den gegebenen Zahlen los gerechnet. Da alles in den Grundeinheiten (m, s, m/s, m/s²) gegeben ist, kann man die Einheiten weglassen. Die Zielrichtung ist eigentlich klar: Am Ende steht eine quadratische Gleichung für t1 oder t2, bei der nur eine Lösung Sinn macht. Kam aber Unsinn raus, Minusfehler, weil a1 und a2 negativ sind (v0+a*t oder v0-a*t / a=0,5 oder a=-0,5).

Also habe ich auf dem zweiten Blatt gleich am Anfang a1=-0,5 und a2=-1,5 festgelegt und nur mit Buchstaben gerechnet. Trotzdem wieder Minusfehler oder was anderes.

Dann habe ich erstmal mit Tabellenkalkulation und einfachen Formeln (v₁=v₀+a₁*t₁ ; s₁=v₀*t₁+0,5*a₁*t₁²) ausprobiert, welche Zahlen eigentlich rauskommen müssen, indem ich t1 variiert habe, bis es passte. Zusammenstellung: v0=30, v1=12, v2=0, a1=-0,5, a2=-1,5, t1=36, t2=8, s1=756, s2=48.
v2=0 (d.h. Auto kommt zum Stillstand) ist gar nicht vorgegeben, habe ich aber so angenommen und mit den vorgegebenen Lösungen stimmt's überein.

Auf dem dritten Blatt habe ich parallel gerechnet: links mit Buchstaben, rechts immer mal wieder die richtigen Zahlen eingesetzt, um zu sehen, ob es noch stimmt. So habe ich dann nach und nach alle Fehler gefunden.

Lösung:
[TEX]v_1 = v_0 + a_1 \cdot t_1[/TEX]
[TEX]v_2 = v_1 + a_2 \cdot t_2[/TEX]
[TEX]\rightarrow v_2 = 0 = v_0 + a_1 t_1 + a_2 t_2[/TEX]
[TEX]\rightarrow t_2 = - \frac{v_0 + a_1 t_1}{a_2}[/TEX]

[TEX]s_1 = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2[/TEX]
[TEX]s_2 = v_1 t_2 + \frac{1}{2} a_2 t_2^2[/TEX]
v1 und t2 in s2 einsetzen:
[TEX]s_2 = (v_0 + a_1 t_1) \cdot (- \frac{v_0 + a_1 t_1}{a_2}) + \frac{1}{2} a_2 (- \frac{v_0 + a_1 t_1}{a_2})^2[/TEX]
[TEX]= ... = - \frac{1}{2} \frac{(v_0 + a_1 t_1)^2}{a_2}[/TEX]
Binomische Klammer auflösen, s = s1 + s2 nach Potenzen von t1 sortieren:
[TEX]0 = t_1^2 \left( \frac{a_1}{2} - \frac{a_1^2}{2a_2} \right) + t_1 \left( v_0 - \frac{2 v_0 a_1}{2 a_2} \right) + 1 (- \frac{v_0^2}{2 a_2} - s)[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2 a_2}[/TEX] ausklammern, Gleichung normieren:
[TEX]0 = t_1^2 + t_1 \cdot \frac{2 v_0}{a_1} - \frac{v_0^2 - 2 a_2 s}{a_1 (a_2 - a_1)}[/TEX]
Dann habe ich die Zahlen eingesetzt, p-q-Formel und bin auf t₁ = 60 [TEX]\pm[/TEX] 24 gekommen. Daraus kannst du dann nach den Formeln vom Anfang v1, t2, s1 und s2 ausrechnen.

Bei solchen Problemen rechnet man mit Impuls- bzw. Drehimpulserhaltung und mit Energieerhaltung.

Beim Drehimpuls kann man die evtl. vorhandene Eigendrehung des Kometen gegenüber dem Bahndrehimpuls vernachlässigen. Dadurch vereinfacht sich das Trägheitsmoment (sozusagen die Dreh-Masse) zu mr².
L = J x [TEX]\omega[/TEX] = mr² * v/r = m * r * v
Nimmt man die Masse als konstant an, kommt deine Formel raus. Ein Komet verliert aber an Masse, umso mehr, je näher er der Sonne kommt (Schweif). Ist aber vermutlich auch vernachlässigbar.

Bei der Energie muss man die kinetische (1/2 m v²) und die potenzielle Energie zusammenzählen.
Bei 1-Stern-Systemen gibt es einen 1/r - Potenzial.
E_pot = [TEX]\int[/TEX] F dr , wobei [TEX]F = \gamma \frac{M_S \cdot m}{r^2}[/TEX] , also:
[TEX]E_{pot} = - \gamma \frac{M_S \cdot m}{r}[/TEX]
Gesamt-Energie: [TEX]E = m \cdot \left( \frac{1}{2} v^2 - \gamma \frac{M_S}{r} \right)[/TEX]
Die Masse kürzt sich hier auch wieder raus.

Wenn man die beiden Gleichungen, jeweils für Perihel und Aphel, ineinander einsetzt, müsste es gehen.
Weiß ich aber nicht, durchgerechnet habe ich's nicht, aber du kannst ja die gleiche Rechnung mal testweise für die Erde machen (Perihel: 147 Mio. km, Aphel: 152 Mio. km).

Jetzt habe ich's kapiert: Es geht um Wärme-Längenausdehnung!
Ein 100 m langes Stück eines Stoffes, der sich mit 15*10-6 K-1 ausdehnt (d.h. ein 1m langes Stück dehnt sich pro Grad um 15*10-6 m aus), wird von -20°C auf +50°C erhitzt. Berechnet werden soll, um wieviel es länger wird.
Formel: [TEX]\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T[/TEX] = 15*10-6 1/K * 100m * 70K = 0,105 m
Ein Stoff, der diesen Längenausdehnungskoeffizienten [TEX]\alpha[/TEX] hat, ist Konstantan.

6) Mit 18 bar wird ein Gas auf 1/18 des Volumens zusammen gedrückt, d.h. 10 Liter unter 18 bar sind bei Normaldruck (1 bar) 10 * 18 = 180 Liter.
Als Formel: p₁ * V₁ = p₂ * V₂
180 L : 12 L/min = 15 min. = 0,25 Std.

7) = 9) Elektrische Energie: E = P * t = U * I * t = 230V * 0,01A * 0,2s = 0,460 J

verstehe ich nicht

Das geht ja quer durch alle Teilgebiete, bei allen kann ich dir da auch nicht helfen. Manches ist auch unklar.

1) Soll das ein etwa zylinderförmiges Glas sein? - Es geht um den Druck, die Formel lautet: p = F/A
Macht man das Glas mit Wasser voll, so sind es 40+500 = 540 g = 0,54 kg. Das entspricht (mal 9,8 N/kg) einer Gewichtskraft von 5,29 N.
Auflagefläche ("Radius" interpretiere ich als kreisförmig) A = pi * (0,03m)² = 0,0028 m²
-> p = 5,29 N / 0,0028 m² = 1872 N/m² = 1872 Pa
Wenn 2000 Pa rauskommen sollen, muss die Dichte der Flüssigkeit etwas höher sein.

2) Wenn die Kanüle einen Radius von 1mm = 0,1 cm hat, ist ihre Querschnittsfläche A = pi * 0,1² = 0,0314 cm²
Wenn ein Zylinder mit diesem Querschnitt 90 ml = 90 cm³ aufnehmen soll, müsste er 90 : 0,0314 = 2865 cm lang sein.
Also: Geschwindigkeit 28,65m pro Stunde.

3) Wärmeenergie-Formel: W = c * m * [TEX]\Delta[/TEX]T = 4 kJ/kg * 0,5 kg * (37 - 7) = 60 kJ
c = spezifische (d.h. stoffabhängige) Wärmekapazität
m : 0,5 L = 0,5 kg gilt bei Wasser, Wasser hat aber eine Wärmekapazität von 4,2 kJ/kg
[TEX]\Delta[/TEX]T : Temperaturunterschied, Körpertemperatur 37°C

4) Linsenformel: 1/f = 1/g + 1/b
f=Brennweite, g=Gegenstandsweite, b=Bildweite
1/f = 1/1 + 1/0,25 = 1 + 4 = 5 | Kehrwert
f = 0,2 m = 200 mm

Der Mars hat eine Umlaufzeit von 687 Tagen, die Erde braucht 365,24 Tage. Die Zeit, bis die Erde den Mars einmal "überrundet" hat, berechnet sich also nach der Formel:
(x+1) * 365,24 = x * 687
Das ergibt x=1,135, d.h. 2,135 Erdenjahre
Die Erde hat eine 687/365,24 = 1,881-fache Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem Mars, sie ist also 0,881-mal schneller.

Die folgenden Überlegungen habe ich mir selber ausgedacht, könnten also auch falsch sein:
Wenn man annimmt, dass ein Raumschiff konzentrisch von der Sonne weg fliegt, damit es einen möglichst kurzen Weg zurücklegen muss, dann müsste die Erde die von der Sonne aus gesehen gleiche Richtung genau um die Flugzeit VOR dem Mars passieren, damit Raumschiff und Mars dann später zusammen treffen.
Das wären bei 0,7 Jahren Flugzeit 0,7/0,881 = 0,795 Jahre nach Konjunktion (= Erde und Mars in der gleichen Richtung von der Sonne aus). Dann fliegt das Raumschiff 0,7 Jahre (zus. 1,495 Jahre), bis zur nächsten Konjunktion sind es ab Ankunft auf dem Mars noch 2,135-1,495=0,64 Jahre.
Nimmt man an, dass der Rückflug genauso lange dauert, müsste die Erde beim Start auf dem Mars 0,3 Jahre Vorsprung (= 0,7 Jahre "Rücksprung") haben, damit sie nach weiteren 0,7 Jahren wieder mit dem zurück fliegenden Raumschiff zusammen trifft. Das dauert ab Konjunktion 0,3/0,881=0,34 Jahre.
Man müsste also 0,64+0,34 = 0,98 (Erden-)Jahre auf dem Mars bleiben.

a) Das hängt davon ab, ob die Zinsen jedes Quartal kapitalisiert werden, oder nur einmal im Jahr. So wie du gerechnet hast, würden sie einmal im Jahr kapitalisiert.
quartalsweise Kapitalisierung: 1,02⁴ = 1,0824... -> 8,24 % pro Jahr -> K₈ = 500 * 1,02³² = 942,27 €

b) Zu "Effektivzins" habe ich nur eine Formel für Kredite gefunden, nicht für Geldanlagen. Hier rechnet man:
[TEX]\frac{Kreditkosten}{Nettodarlehen} \cdot \frac{24}{Monate Laufzeit + 1}[/TEX]
Auf diese Aufgabe übertragen wäre das meiner Ansicht nach:
[TEX]\frac{425,465}{500} \cdot \frac{24}{97} = 0,2105[/TEX] bzw. bei quartalsweiser Kapitalisierung 0,2189

Nach "gesundem Menschenverstand" hätte ich so gerechnet:
425,465 / 500 = 0,85093 = 85,1% Zinsen insgesamt
verteilt auf 8 Jahre = 10,6%

Also: Ich habe keine Ahnung, wie man auf 7,77% kommt, ich weiß aber auch nicht, wie man tatsächlich den Effektivzinis berechnet.

Falls es darum geht, möglichst viele verschiedene Lösungsverfahren darzustellen:

1. direkte Gleichungsumformung: siehe Olivius, Aufgabe a

2. p-q-Formel: siehe Olivius, Aufgabe b

3. Quadratische Ergänzung (= binomische Formel rückwärts)
b) x² + x - 2 = 0
-> Frage: (x + ?? )² = x² +1x + ... -> ?? = 1/2 (immer die Hälfte von der Zahl beim x)
(x + 1/2)² -1/4 -2 = 0
-> Erklärung: Wenn man (x + 1/2)² ausrechnet, kommt nicht nur x²+1x raus, sondern auch noch 1/4. Das muss gleich wieder abgezogen werden.
(x + 1/2)² -9/4 = 0 | +9/4
(x + 1/2)² = 9/4 | Wurzel
x + 1/2 = [TEX]\pm[/TEX] 3/2 | -1/2
x = -1/2 [TEX]\pm[/TEX] 3/2
-> x₁ = -1/2 + 3/2 = +1 ; x₂ = -1/2 - 3/2 = -2

4. Satz von Vieta
Die Lösungen x₁ und x₂ einer quadratischen Gleichung hängen folgendermaßen mit dem p und q in der Normalform zusammen:
(x - x₁)(x - x₂) = xx - xx₂ - x₁x + x₁x₂ = x² -(x₁+x₂)x + x₁x₂ -> p=-(x₁+x₂) ; q=x₁x₂
Das kann man nutzen: Wenn man zwei Zahen findet, die multipliziert die einfache Zahl (q) ergeben und addiert die Zahl beim x (p), kann man den Term faktorisieren. Die Lösungen der Gleichung sind dann die Gegenzahlen der gefundenen Zahlen.
Beispiel b:
0 = x² +1x -2
-2 = -2*1 oder -1*2 -> Mit Addieren testen: -2+1 = -1 passt nicht ; -1+2 = +1 passt, also:
0 = x² +1x -2 = (x - 1)(x + 2) -> Wenn ein Faktor 0 wird, ist das Produkt 0
Lösungen: x₁=+1 ; x₂=-2
Beispiel a:
0 = (x - 3)² - 49 = x² -6x +9 -49 = x² -6x -40
-40 = -1*40 = -2*20 = -4*10 = -5*8 = -8*5 = -10*4 = -20*2 = -40*1 -> -10+4=-6
0 = x² -6x -40 = (x-10)(x+4) -> x₁=+10 ; x₂=-4

Betrachtet man die Funktionen mit der allgemeinen Gleichung y = x^z (z = ganze Zahl), gibt es auch Regelmäßigkeiten:

z gerade: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse und der Wertebereich enthält keine negativen Zahlen. Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (1/1) und (-1/1).
z ungerade: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung/Nullpunkt und der Wertebereich enthält negative und positive Zahlen. Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (1/1) und (-1/-1).

z positiv: Der Graph verläuft durch den Nullpunkt (0/0) und ab x=2 ist er eine Parabel (x=1: Gerade).
z negativ: Der Graph ist eine Hyperbel. Die Funktion ist für 0 nicht definiert und es kann auch nicht 0 rauskommen -> Wertebereich R\{0} bzw. R+

Für deine Beispiele heißt das:
y=x² und y=x⁴ ergeben einen Graphen, der bei x<0 monoton fällt und ab x=0 monoton steigt. Der Wertebereich ist R₀⁺ . Bei y=x⁴ ist der Graph nach außen hin steiler.
y=x⁵ ergibt einen Graphen, der überall monoton steigt. Der Wertebereich ist R. Am besten, du guckst dir die Graphen einfach mal an, z.B. auf https://rechneronline.de/funktionsgraphen/ .

Vermutlich soll die Masse des Fadens vernachlässigt werden, sonst wird's zu kompliziert.

Ich stelle mir die Situation so vor (siehe Bild).

a) Die Kugel hat dann die Endposition des Ausschlags erreicht, wenn die resultierende Kraft (F_el + F_G) in Richtung des Fadens verläuft. Wir brauchen also F_el und F_G.
F_el = E * Q = 7*10⁴ N/C * 5*10^-9C = 35*10^-5 N = 3,5*10^-4 N
F_G = m * g = 4*10^-4 kg * 9,8 N/kg = 39,2*10^-4 N
tan([TEX]\alpha[/TEX]) = F_el / F_G -> [TEX]\alpha[/TEX] = 5,1°
Der horizontale Ausschlag beträgt dann: 1m * sin([TEX]\alpha[/TEX]) = 8,9 cm

b) Theoretisch könnte man so auch bei der 1000-fachen Ladung rechnen. Vielleicht geht dann aber Ladung auf den Faden über, oder man darf die Masse des Fadens nicht mehr vernachlässigen. Weiß nicht so genau...

Denken wir uns die äußere Klammer mal weg, dann steht da: f(x)=-(x-4)²
Hoch vor Punkt vor Strich, also zuerst rechnest du die binomische Formel:
(x-4)² = (x-4) * (x-4) = x*x -4*x + x*(-4) -4*(-4) = x² -8x +16
Dann das Minus davor, also: f(x) = -(x-4)² = -(x² -8x +16) = -x² +8x -16

Zunächst schreibe ich die Kräfte und Wege als Vektoren, das finde ich übersichtlicher.
[TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} a(3x-2y) \\ b(y-2x) \\ 0 \end{array} \right) [/TEX]
Die dritte Koordinate kann man bei dieser Aufgabe eigentlich weglassen.

a) [TEX]\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -t \\ -t \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]
Einsetzen in F: [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} a(3 \cdot (-t) - 2 \cdot (-t)) \\ b(-t - 2 \cdot (-t) \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -ta \\ +tb \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]

entsprechend:
b) [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} (3t-t^2)a \\ (0,5t^2 - 2t)b \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]
c) [TEX]F(r) = \left( \begin{array}{c} (6 cos(t) + 6 sin(t))ac \\ (-4 cos(t) - 3 sin(t))bc \\ 0 \end{array} \right)[/TEX]

Die Arbeit ist ja eine skalare Größe, d.h. man kann hier nicht jede Komponente integrieren. Das was jetzt folgt, ist unsicher, ich weiß nicht, ob ich das noch richtig in Erinnerung habe.
[TEX]W = \int F(r) dr = \int F(r) \frac{dr}{dt} dt[/TEX] , d.h. der WEG müsste nach jeder Komponenten abgeleitet werden, dann rechne ich das Skalarprodukt von F * r aus und dann integriere ich.

a) [TEX]\int_0^2 \left( \begin{array}{c} -ta \\ +tb \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right) dt = \int_0^2 (ta - tb) dt = [ 0,5 t^2 (a-b) ]_0^2 = 2(a-b)[/TEX]

b) [TEX]\int_0^2 \left( \begin{array}{c} (3t-t²)a \\ (0,5t²-2t)b \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ t \\ 0 \end{array} \right) dt[/TEX]
[TEX]= \int_0^2 ( (3t - t^2)a + (0,5 t^3 - 2 t^2)b ) dt = [(1,5 t² - \frac{1}{3} t^3)a + (\frac{1}{8} t^4 - \frac{2}{3} t^3)b]_0^2 = \frac{10}{3} a - \frac{10}{3} b[/TEX]

Bei c) sollte die Arbeit 0 sein, da es ein geschlossener Weg ist (siehe Skizze)

Die notwendigen Schritte bei solchen Textaufgaben am Beispiel von Aufgabe 1:
1. x festlegen, hier z.B. x = Alter von Karina
2. verknüpfte Größen damit ausdrücken, hier: Alter von Tom = x+4
3. mit diesen x-Termen Formel aufstellen, ggf. zusätzliches Wissen einbringen, hier: (Wissen: Multiplizieren = Malnehmen) -> x * (x+4) = 357
4. Gleichung lösen (x=17)
5. Antwort

Aufg. 2
1. x = Radius des ursprünglichen Kreises
2. Radius des vergrößerten Kreises: x+15
3. (Wissen: Kreisfläche = pi*r²) -> 2 * pi*x² = pi*(x+15)²
...