Hallo,
Zwei Massen zeihen sich mit einer Kraft an, die das Gravitationsgesetz angibt. Die Formel hast du schon verwendet.
[TEX]F=G\cdot \dfrac{m_1\cdot m_2}{r^2}[/TEX]
Im speziellen Fall eines Körpers mit der Masse m in der Höhe h über der Erdoberfläche wird daraus:
[TEX]F=G\cdot \dfrac{m_{Erde}\cdot m}{(r_{Erde}+h)^2}[/TEX]
In dem Bereich von h, in dem wir Menschen uns normalerweise aufhalten von h=0 am Badestrand bis h=10 km im Ferienflieger, kann man h gegen [TEX]r_{Erde}[/TEX] vernachlässigen.
Die Formel vereinfacht sich zu:
[TEX]F=\dfrac{G\cdot m_{Erde}}{r_{Erde}^2}\cdot m[/TEX]
Der Bruchterm enthält nur Konstanten. Die fasst man zusammen zu:
[TEX]g=\dfrac{G\cdot m_{Erde}}{r_{Erde}^2}[/TEX]
Dieser Wert heißt dann Erdbeschleunigung, Ortsfaktor oder Gravitationsfeldstärke. Verwendet wird je nach Lust und Physikbuch:
[TEX]g=9{,}81\dfrac{m}{s^2}=9{,}81\dfrac{N}{kg}[/TEX]
oder
[TEX]g=10\dfrac{m}{s^2}=10\dfrac{N}{kg}[/TEX]
Daher kommt dann die bekannte Formel
[TEX]F=m\cdot g[/TEX]
Bei der in der Aufgabe angegebenen Höhe von h=1000 km kann man diese sicher nicht mehr vernachlässigen, ohne einen Fehler zu machen. Da muss man dann schon die o.a. Formel verwenden:
[TEX]F(h)=G\cdot \dfrac{m_{Erde}\cdot m}{(r_{Erde}+h)^2}[/TEX]
Die gesuchte Hubarbeit ist dann das Integral:
[TEX]W=\displaystyle\int\limits_0^h F(h) dh[/TEX]
[TEX]W=\displaystyle\int\limits_0^h G\cdot \dfrac{m_{Erde}\cdot m}{(r_{Erde}+h)^2} dh[/TEX]
Einfacher zu berechnen ist:
[TEX]W=\displaystyle\int\limits_{r_{Erde}}^{r_{Erde}+h} G\cdot \dfrac{m_{Erde}\cdot m}{r^2} dr
=G\cdot m_{Erde}\cdot m\cdot\displaystyle\int\limits_{r_{Erde}}^{r_{Erde}+h}\dfrac{1}{r^2} dr[/TEX]
Hierbei würde ich benutzen:
[TEX]G\cdot m_{Erde}=g\cdot r_{Erde}^2}[/TEX]
Den Wert für den Erdradius brauchst du sowieso.
Viele Grüße
Lord Nobs
