Beiträge von HarryPotter

Hallo,

im ersten Fall kürzt du den Faktor [TEX]t-1[/TEX] heraus. Dadurch wird der Nenner zu 1, im Zähler bleibt [TEX]4(t+1)[/TEX] übrig. Wenn du nun die Klammer auflöst erhältst du so wie es dasteht [TEX]4t + 4[/TEX].

Ähnlich sieht es beim zweiten Teil aus: hier kürzt du den Faktor [TEX]t-2[/TEX] heraus, dadurch verbleibt im Zähler [TEX]4(t+2) = 4t + 8[/TEX] nach Auflösen der Klammer. In der dritten Aufgabe kürzt du [TEX]t-3[/TEX] heraus, wodurch du den Zähler [TEX]4(t+3) = 4t + 12[/TEX] erhältst.

Hoffe, dass dir das weiterhilft.

lg

Hallo Mathehater,

direkt eine Regel gibt es für diese Art von Aufgaben nicht, außer dass du halt die Terme, die dir vorgegeben sind, mit der entsprechenden binomischen Formel vergleichen musst, um die fehlenden Terme zu berechnen. Bei der Aufgabe, die du in deinem letzten Post erwähnt hast,

handelt es sich um eine Anwendung der zweiten binomischen Formel [TEX](x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2[/TEX]. Auf der linken Seite ist dir nun schon [TEX]x = 3a[/TEX] vorgegeben. Wenn du dir nun den Term [TEX]12a[/TEX] auf der rechten Seite ansiehst, dann entspricht dieser in der zweiten binomischen Formel dem Term [TEX]2xy[/TEX], also [TEX]12a = 2xy[/TEX]. Wenn du nun noch die Info [TEX]x = 3a[/TEX] von der linken Seite einsetzt, dann findest du

Somit kennt du also [TEX]y[/TEX] und kannst die verbleibenden Terme auf der rechten Seite ausrechnen:

lg

Hallo Zvezda,

man kann auch Polynome mit mehreren Variablen betrachten; das sieht dann beispielsweise so aus:

ist aber natürlich noch eine Ecke komplizierter als Polynome in nur einer Variablen.

lg

Hallo Mathehater,

du meinst natürlich die binomischen Formeln, aber keine Angst, wegen dieser Formeln bringt dich hier keiner um

Kann es sein, dass bei der ersten Aufgabe links zwei Klammern zu viel stehen und rechts dafür ein Quadrat fehlt? Deine Aufgabe würde dann also

lauten? Diese Aufgabe bezieht sich auf die erste binomische Formel, [TEX](x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2[/TEX]. Wenn du dir bei deiner Aufgabe nun die rechte Seite anschaust und mit der rechten Seite der ersten binomischen Formel vergleichst, dann siehst du, dass [TEX]x^2 = 4a^2 = (2a)^2[/TEX] und somit [TEX]x = 2a[/TEX] sowie [TEX]y^2 = b^2[/TEX] und somit [TEX]y = b[/TEX] der Fall ist. Also muss auf der linken Seite dieser Gleichung schonmal [TEX](2a + b)^2[/TEX] stehen. Nun musst du nur noch mit der ersten binomischen Formel den Term in der Mitte der rechten Seite berechnen, nämlich [TEX]2xy = 2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab[/TEX]. Das gesuchte Ergebnis lautet somit

Bei der zweiten Aufgabe handelt es sich um die dritte binomische Formel, [TEX](x - y)(x + y) = x^2 - y^2[/TEX]. Durch Vergleich der rechten Seite der dritten binomischen Formel mit deiner Aufgabe siehst du, dass [TEX]x^2 = 49m^2 = (7m)^2[/TEX], also [TEX]x = 7m[/TEX], sowie [TEX]y^2 = 9n^2 = (3n)^2[/TEX], also [TEX]y = 3n[/TEX], gilt. Jetzt musst du nur noch einsetzen und erhältst:

Hoffe, dass ich dir damit weiterhelfen konnte.

lg

PS: Die erste Aufgabe wäre natürlich auch ohne das Quadrat auf der rechten Seite lösbar, dann käme allerdings eine Wurzel ins Spiel, nämlich [TEX](2\sqrt{a} + b)^2 = 4a + 4b\sqrt{a} + b^2[/TEX], und natürlich funktionieren beide Aufgaben auch mit negativen Vorzeichen, also [TEX](-2a + (-b))^2 = 4a^2 + 4ab + b^2[/TEX] bzw. [TEX](-7m - (-3n))(-7m + (-3n)) = 49m^2 - 9n^2[/TEX] ...

Hallo Felix,

aus den zwei gegebenen Punkten A und B berechnest du zunächst den Richtungsvektor [TEX]\vec{u}[/TEX] der Geraden [TEX]g[/TEX], der ja die Differenz dieser beiden Punkte ist, also

Da die Gerade [TEX]h[/TEX] parallel zur Geraden [TEX]g[/TEX] sein soll, hat sie den gleichen Richtungsvektor wie [TEX]g[/TEX], den wir ja gerade berechnet haben. Um nun die Gleichung der Geraden [TEX]h[/TEX] in Parameterform aufstellen zu können, benötigst du nur noch einen Ortsvektor von [TEX]h[/TEX], wofür du einfach den Punkt C benutzt. Die Geradengleichung von [TEX]h[/TEX] lautet also

Hoffe dass dir das weiterhilft.

lg

Hallo,

Der Fragezeichenoperator ist doch eine Kurzform der if-then-else-Anweisung. Du könntest etwas wie

c = (a < b) ? a : b;

benutzen (falls a kleiner als b ist, weise c den Wert von a zu, anderenfalls weise c den Wert von b zu). Zum Runden könntest du java.lang.Math.round() benutzen (wobei du dein Ergebnis erst mit der passenden Zehnerpotenz multiplizieren und nach dem Runden wieder durch diese Zehnerpotenz dividieren musst).

Hoffe dass dir das weiterhilft.

lg

Hallo,

eine quadratische Funktion hat immer die Gestalt

mit Zahlen [TEX]a[/TEX], [TEX]b[/TEX] und [TEX]c[/TEX], die es zu berechnen gilt. Aus deiner Wertetabelle nimmst du nun drei Wertepaare [TEX](x_1/y_1)[/TEX], [TEX](x_2/y_2)[/TEX] sowie [TEX](x_3/y_3)[/TEX] und setzt diese in die Gleichung ein. Dadurch erhältst du drei Gleichungen für die drei Unbekannten [TEX]a[/TEX], [TEX]b[/TEX] und [TEX]c[/TEX], also ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das du lösen musst.

Beispiel:

Sei folgende Wertetabelle vorgegeben:

[table='width: 100, class: grid, align: center']

x

y

-1

-1

0

-4

1

-3

[/table]

Einsetzen dieser drei Punkte in die Gleichung [TEX]f(x) = ax^2 + bx + c[/TEX] liefert die folgenden drei Gleichungen

Die zweite Gleichung liefert dir unmittelbar den Wert für [TEX]c[/TEX]. Diesen setzt du in die beiden anderen Gleichungen ein und erhältst

Nun addierst du beispielsweise die dritte Gleichung zur ersten und erhältst

womit du den Wert für [TEX]a[/TEX] gefunden hast. Diesen setzt du in die letzte Gleichung ein und hast schliesslich auch [TEX]b[/TEX]:

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also [TEX]f(x) = 2x^2 - x - 4[/TEX].

Hoffe, dass dir das weiterhilft.

Hallo Ani,

über die Preis-Absatzfunktion [TEX]p(x)[/TEX] weißt du aufgrund der Aussage "Die Stückpreise verlaufen linear zur Produktionsmenge", dass es sich um eine lineare Funktion handelt, sie hat also die Gestalt

mit irgendwelchen Zahlen [TEX]a[/TEX] und [TEX]b[/TEX], die berechnet werden müssen. Weiterhin kannst du aus der Aufgabenstellung die folgende Wertetabelle für die Funktion [TEX]p(x)[/TEX] entnehmen:

[table='width: 100, class: grid, align: center']

x

y

2

35

5

14

[/table]

Die Aufgabe lautet also, die Gerade zu bestimmen, die durch die Punkte [TEX](x_1/p_1) = (2/35)[/TEX] und [TEX](x_2/p_2) = (5/14)[/TEX] verläuft. Dafür kannst du die beiden Punkte entweder in die Gleichung [TEX]p(x) = ax + b[/TEX] einsetzen und das lineare Gleichungssystem, das du dadurch erhältst, lösen, oder du verwendest die folgende Formel, um (die Steigung) [TEX]a[/TEX] von [TEX]p(x)[/TEX] zu berechnen:

Die Gleichung für [TEX]p(x)[/TEX] muss also schonmal lauten [TEX]p(x) = -7x + b[/TEX]. Um nun auch [TEX]b[/TEX] zu berechnen, setzt du einfach einen der beiden Punkte ein, beispielsweise [TEX](x_1/p_1) = (2/35)[/TEX] und du erhältst

Diese kannst du umformen zu [TEX]b = 35 + 7 \cdot 2 = 35 + 14 = 49[/TEX] und somit hast du also das Ergebnis [TEX]p(x) = -7x + 49[/TEX].

Die Funktion [TEX]p(x)[/TEX] gibt dir also den Preis (einer Druckerpatrone) in Abhängigkeit vom Absatz [TEX]x[/TEX]. Willst du nun den Gesamterlös [TEX]E(x)[/TEX] berechnen, also wieviel die Firma verdient, wenn sie [TEX]x[/TEX] Druckerpatronen verkauft, dann musst du einfach den Einzelpreis [TEX]p(x)[/TEX] mit der Stückzahl multiplizieren, also

Nun setzt du einfach die Funktionsgleichung von [TEX]p(x)[/TEX] ein und erhältst wie angegeben:

Wie man nun aber auf die Gesamtkosten [TEX]K(x)[/TEX] kommt, weiß ich leider auch nicht. Soweit ich das verstehe, sind das die Kosten, die bei der Produktion der Druckerpatronen anfallen, aber dazu gibt es in der Aufgabenstellung doch keinen Hinweis ...

Hoffe, dass dir das trotzdem ein bisschen weiterhilft. Vielleicht hat ja noch jemand anderer eine Lösung für [TEX]K(x)[/TEX].

lg

Naja, das kommt auf den Zahlenbereich an, auf dem man eine solche Gleichung betrachtet. Klar, im Reellen ist sowas nicht lösbar, im Komplexen aber schon, Stichwort Fundamentalsatz der Algebra.

Hallo,

zuerst klammerst du [TEX]x [/TEX] aus und erhältst [TEX]x(x^4 - 20x^2 + 64) = 0[/TEX]. Da ein Produkt genau dann Null wird, wenn mindestens einer der beiden Faktoren Null ist, hast du die erste Nullstelle schon gefunden, nämlich [TEX]x_1 = 0[/TEX]. Als nächstes betrachtest du den Ausdruck in der Klammer, [TEX]x^4 - 20x^2 + 64 = 0[/TEX], und substituierst [TEX]y := x^2[/TEX], so dass du die quadratische Gleichung [TEX]y^2 - 20y + 64 = 0[/TEX] erhältst, die du lösen musst. Anschliessend machst du die Substitution wieder rückgängig.

Hoffe, dass dir das weiterhilft.

lg

Hallo,

Der Grenzwert einer Folge [TEX](a_n)[/TEX] ist doch wie folgt erklärt: Eine Zahl [TEX]a[/TEX] heisst Grenzwert der Folge [TEX](a_n)[/TEX], wenn es zu jedem [TEX]\varepsilon > 0[/TEX] einen Index [TEX]N[/TEX] gibt, so dass für alle [TEX]n \ge N[/TEX] gilt: [TEX]|a_n - a| < \varepsilon[/TEX]. Anders gesagt heisst das, dass für jedes [TEX]\varepsilon > 0[/TEX] ab einem Index [TEX]N[/TEX] alle Glieder der Folge im Intervall [TEX](a - \varepsilon,a + \varepsilon)[/TEX] liegen, ausserhalb dieses Intervalls liegen nur endlich viele Folgenglieder.

Ist nun dein Grenzwert [TEX]a[/TEX] positiv, so gilt dies beispielsweise für [TEX]\varepsilon = \frac{a}{2}[/TEX]. Da aber alle Zahlen, die im Intervall [TEX](a - a/2,a + a/2)[/TEX] liegen, positiv sind, hast du einen Widerspruch zur Voraussetzung, dass deine Folge nur negative Glieder hat.

Hoffe dass dir das weiterhilft.

lg

Hallo,

die Antworten auf deine Fragen stecken doch direkt in den Gesetzen für die entsprechenden Bewegungen:

• Weg-Zeit-Gesetz: [TEX]s = v \cdot t[/TEX] oder als Satz "Der Weg ist proportional zur Zeit",
• Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz: [TEX]v = a \cdot t[/TEX] oder als Satz "Die Geschwindigkeit ist proportional zur Zeit",

wobei s der Weg, v die Geschwindigkeit, t die Zeit und a die Beschleunigung ist.

Hoffe dass dir das weiterhilft.

Viele Grüße

Hallo,

wenn ich deine Aufgabe richtig verstehe, dann steht in Zelle B5 der Betrag 234,56 €, in B6 20%, in B7 2%, in B8 23,00 € und in B9 steht deine Formel

Nun hast du zwei weitere Datenspalten in C5 (790,00 €) bis C8 (135,00 €) und in D5 (12,35 €) bis D9 (0,50 €) und du möchtest den Bezugspreis in den Zellen C9 und D9 berechnen. Ist das soweit korrekt? Wenn ja, dann musst du im Excel eigentlich nur die Zelle B9 anklicken, die Tastenkombination STRG+C drücken, anschliessend klickst du die Zelle C9 an und drückst STRG+V. Excel sollte die Formel automatisch für die Spalte C anpassen, also

anzeigen. Anschliessend wiederholst du dasselbe für D9.

Noch einfacher geht es, indem du die Zelle B9 markierst und mit der Maus in die rechte untere Ecke der Zelle fährst bis sich der Mauszeiger in ein kleines Kreuz ändert. Nun klickst du mit der linken Maustaste, hältst die Maustaste gedrückt und ziehst die Maus nach rechts bis zur Zelle D9, wo du sie loslässt. Dadurch füllt Excel die Zellen C9 und D9 mit der Formel und passt sie auch automatisch für dich an.

Hoffe dass dir das weiterhilft.

Viele Grüsse

Hallo,

Um das Ganze in jeweils einen Satz zu packen, könntest du etwas sagen wie

• Im rechtwinkligen Dreieck ergeben sich die Winkelfunktionen aus den Verhältnissen der Kathetenlängen zur Länge der Hypotenuse (Sinus und Kosinus) bzw. aus den Längenverhältnissen der Katheten zueinander (Tangens und Kotangens).
• Im rechtwinkligen Dreieck entspricht der Kosinus eines Hypotenusenwinkels dem Sinus des gegenüberliegenden Hypotenusenwinkels.
• Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate von Sinus und Kosinus eines Winkels aufgrund des Satzes von Pythagoras gleich 1.

Erklärung dazu:

Bei 1. handelt es sich schlichtweg um die Definitionen der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck:

• soh: Der Sinus ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (opposite) zur Länge der Hypotenuse [TEX]\sin \alpha = \frac{o}{h}[/TEX]
• cah: Der Kosinus ist ist das Verhältnis den Ankathete (adjacent) zur Länge der Hypotenuse [TEX]\cos \alpha = \frac{a}{h}[/TEX]
• toa: Der Tangens ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (opposite) zur Länge der Ankathete (adjacent) [TEX]\tan \alpha = \frac{o}{a}[/TEX]

2. Bezeichnen wir die Winkel im Dreieck mit [TEX]\alpha, \beta, \gamma[/TEX], wobei [TEX]\gamma[/TEX] der rechte Winkel sei. Da die Winkelsumme in jedem Dreieck 180 Grad beträgt und da [TEX]\gamma = 90°[/TEX] gilt, ist also [TEX]\alpha + \beta = 90°[/TEX] bzw. [TEX]\beta = 90° - \alpha[/TEX]. Es ist also [TEX]\sin(90° - \alpha) = \sin \beta = \frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}}[/TEX] wie in 1. gesehen. Die Gegenkathete von [TEX]\beta[/TEX] ist aber gerade die Ankathete von [TEX]\alpha[/TEX], d.h. wir können weiter schreiben

wiederum nach 1.

3. Hier setzt du einfach die Definition aus 1. ein und erhältst

Nach dem Satz von Pythagoras ist der Zähler gleich [TEX]h^2[/TEX] und damit erhältst du weiter

Es lässt sich auf jeden Fall sagen, dass Anna unschuldig ist. Nimmt man nämlich an, sie wäre schuldig, so würde aus [TEX] A \Rightarrow B \lor C[/TEX] folgen, dass entweder auch Beate oder Carmen schuldig sein müsste. Wir müssen dann zwei Fälle betrachten:

1. Beate ist ebenfalls schuldig. Dann liefert aber [TEX]B \Rightarrow \neg A[/TEX] den Widerspruch, dass Anna unschuldig ist.
2. Carmen ist ebenfalls schuldig. Dann liefert zunächst [TEX]C \Rightarrow B[/TEX], dass Beate ebenfalls schuldig ist. Anschließend liefert uns wie schon im ersten Fall die Aussage [TEX]B \Rightarrow \neg A[/TEX] den Widerspruch, dass Anna unschuldig ist.

Die Annahme, dass Anna schuldig ist, führt also in jedem Fall auf den Widerspruch "Anna ist unschuldig", so dass nur Beate oder Carmen schuldig sein können; Anna muss auf jeden Fall unschuldig sein.

Nehmen wir an, dass es tatsächlich mindestens eine Täterin gibt, dann muss wegen des bisher Gesagten Beate oder Carmen (oder beide) eine Täterin sein. Falls Carmen eine Täterin ist, dann ist wegen [TEX]C \Rightarrow B[/TEX] aber auch Beate Täterin. Das heißt, Beate ist in jedem Fall Täterin. Falls es also genau eine Täterin gibt, dann muss es Beate sein, falls es mehr als eine Täterin geben kann, dann könnten es Beate und Carmen sein.