a) Zuerst bestimmst du den Umfang des Rades
[TEX]U =d*\pi[/TEX]
d = Durchmesser
pi = Kreiszahl = 3,14
U = 0,7*3,14 = 2,198
Der Umfang des Rades beträgt 2,20 m.
Wenn das Rad sich einmal dreht, legt es eine Strecke von 2,20 m zurück.
b) Wenn sich das Rad in einer Sekunde dreimal dreht, legt das Rad in einer Sekunde 3*2,20m = 6,60 m zurück.
In einer Minutes sind das dann 60*6,60 m = 396 m.
Nach meiner Meinung ist der Schwierigkeitsgrad des Diktates durchaus angemessen. Die Fehler sind oben korrekt aufgelistet. Allerdings ist es für Außenstehende schwierig, hier eine Beurteilung abzugeben. Die Note sollte ja die Leistung des Schülers innerhalb der Klasse beschreiben. Es wäre nun wichtig zu wissen, wie die anderen Klassenmitglieder abgeschnitten haben. Ein guter Hinweis wäre die durchschnittliche Fehlerzahl. An diesem Wert könnte man sich orientieren, in welchem Leistungsdrittel sich dieser Schüler mit seinen 9 Fehlern befindet. Im Übrigen sollte man sich nicht scheuen, die Lehrkraft nach ihren Beurteilungskriterien zu fragen.
a) Hier kannst du die Zinseszinsformel anwenden.
[TEX]K_n=K_0(1+\frac{p}{100})^n[/TEX]
n = Anzahl der Verzinsungsjahre
Ko = Anfangskapital, hier: 15 000 €
Kn = Kapital nach n Jahren, hier n = 4
p = Zinssatz - hier: 6,5 %
[TEX]K_4 =15000(1,065)^4=19 296,995[/TEX]
Nach vier Jahren wächst das Kapital auf 19 297,00 €.
b) 175 000<15000(1,065)^n
11,6666< 1,065^n
ln11,6666< n*ln1,065
n > (ln11,6666)/ln1,065
Nach mehr als 39 Jahren würde das Sparziel erreicht, wenn keine weiteren Einzahlungen getätigt würden.
c) Die Aufgabe ist mir nicht ganz einsichtig.
Hier sind die Flächen noch gleichzusetzen:
Dabei erhältst du eine quadratische Gleichung: x² -18x = 144
x² -18x - 144 = 0
Diese kannst du mit der p-q-Formel ganz einfach lösen.
Anschließend den Umfang berechnen.
Die Geschwindigkeit nach t Sekunden berechnet man
v = g*t
g = Erdbeschleunigung = 9,81 m/s²
Nach 2 Sekunden: v = 9,81*2 = 19,62 m/s
Nach 4 Sekunden: v = 9,81*4 = 39,24 m/s
Nach 6 Sekunden: v = 9,81*6 = 58,86 m/s
Es wäre sinnvoller gewesen, du hättest die Aufgaben, die du nicht verstehst, hier gepostet. In dem von dir angefügten Link kann man die Längenmaße gar nicht erkennen. Wenn man in der Schule Pyramiden im Mathematikunterricht behandelt, wird man mit Sicherheit eine Formel dazu mitbekommen haben.
Die Berechnungsformel für das Pyramidenvolumen lautet:
[TEX]V =\frac{1}{3}a^2*h[/TEX]
Diese Formel gilt für quadratische Pyramiden:
Dabei ist a die Länge der Grundkante und h die Körperhöhe der Pyramide. Beide Werte werden in die Formel eingesetzt und dann wird damit das Volumen bestimmt.
Zwischen der Körperhöhe, der Seitenhöhe und der halben Grundkante gibt es noch eine Beziehung über den Lehrsatz desPythagoras:
[TEX]sh^2 =h^2 + \frac{a^2}{4}[/TEX] oder
[TEX]sh =\sqrt{h^2+\frac{a^´2}{4}}[/TEX]
Die Länge des Rechtecks nennst du a, seine Breite b. Dann gilt: A = a*b und U = 2a + 2b
Aus 15 = 2a +2b folgt: a+b = 7,5
Aufgelöst nach b = 7,5 - a
(a-1)*(b+1)=a*b - 6
In diese Gleichung kannst du b einsetzen:
(a-1)*(7,5-a+1)=a*(7,5-a) -6
(a-1)*(8,5 -a) = 7,5a -a² -6
8,5a -a² -8,5 +a = 7,5a -a² -6
2a = 2,5
a = 1,25 cm
b = 6,25 cm
U = 2*(1,25+6,25)=15
A = 1,25*6,25 = 7,8125 cm²
Dann: a -1 = 0,25 cm und b +1 = 7,25 cm
Fläche: A = 0,25*7,25 = 1,8125 cm²
7,8125 cm² - 6 cm² = 1,8125 cm²
1) Wenn man die Funktion f(x) = x*e^(-0,5x) zeichnet, dann wird der Graph von der Geraden f(x) = 0,2 zweimal geschnitten, folglich gibt es zwei Schnittpunkte.
Die Berechnung der Schnittpunkte solltest du mit Hilfe eines Näherungsverfahrens vornehmen. Dazu bietet sich an das Newton-Verfahren oder die Regula falsi.
Du gehst dabei von der Funktion f(x) =x*e^(-0,5x)-0,2 = 0 aus und suchst die Nullstellen.
Nullstellen dieser Funktion findet man bei x1 = 0,223664 und x2 = 7,1543
2) Die erste Ableitung bestimmst du natürlich mit Hilfe der Produktregel:
f(x) = (2-x)*e^(-0,5x)
[TEX]f'(x)=-e^{-0,5*x}-(2-x)*(0,5)*e^{-0,5*x}[/TEX]
Du musst die beiden Funktionen gleichsetzen:
f(x) = g(x)
-0,5*(x-5)²+2 = (1/3)x -6
-1,5 (x² - 10x + 25) + 6 = x - 18
-1,5x² + 15x - 37,5 + 6 = x - 18
-1,5x² +14x -13,5 = 0
x² - 9 1/3 x +9 = 0
[TEX]x_1 = \frac{14}{3}+\sqrt{\frac{196}{9}-9}= 8,24[/TEX]
x2 = 1,092
Diese Aufgabe wurde bereits in einem anderen Forum veröffentlicht und bekam denselben Kommentar!
Die Schreibweise ist jedenfalls FALSCH!!!
[TEX]\dfrac{4}{s^2t}+\dfrac{3}{st^2}=\dfrac{4t+3s}{s^2t^2}[/TEX]
In deinem Beispiel ist unbedingt eine Klammer zu setzen:
(4t+3s)/s²t²
Leider hast du nicht gesagt, wie diese Aufgabe gelöst werden soll, denn es gibt mehrere Möglichkeiten.
1. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung
2. Mit Hilfe der p-q-Formel
Zu 2)
Die obige Gleichung wird zunächst umgeformt zu
ax² +bx - c = 0
Jetzt wird die Gleichung durch a dividiert:
[TEX]x^2 + \frac{b}{a}*x - \frac{c}{a}[/TEX]
Die Lösungsformel für solche Gleichungen lautet:
[tex]x_1/_2 = -\frac{p}{2}+-\sqrt{\frac{p^2}{4} - q}[/tex]
Der Koeffizient von x ist p, das absolute Glied entspricht q.
Hier also: [TEX]p = \frac{b}{a}[/TEX] und [TEX]q = - \frac{c}{a}[/TEX]
Demnach sieht die Lösung dieser Gleichung so aus.
[TEX]x_1/_2 = -\frac{b}{2*a}+-\sqrt{\frac{b^2}{4*a^2}+\frac{c}{a}}[/TEX]
Um zu entscheiden, wie viele Lösung diese Gleichung hat, betrachtest du die Diskriminante, das ist der Ausdruck unter der Wurzel.
[TEX]D =\frac{b^2}{4*a^2}+\frac{c}{a}[/TEX]
1. Wenn dieser Ausdruck Null ist (D = 0), gibt es nur eine einzige Lösung.
2. Wenn dieser Ausdruck positiv ist (D>0), gibt es zwei Lösungen.
3. Wenn dieser Ausdruck negativ ist (D<0), gibt es keine Lösung.
Die Waschmaschine A schafft die Wäschemenge in 3 Stunden, die Waschmaschine B schafft sie in b Stunden.
Die Lösung dafür wäre:
[TEX]\frac{x}{3}+\frac{x}{b}=1[/TEX]
[TEX]x*\frac{3+b}{3*b}=1[/TEX]
[TEX]x=\frac{3b}{3+b}[/TEX]
Nun wird gesagt, dass die Zeit b um 4 Stunden größer sei.
Folglich gilt:
[TEX]\frac{3b}{3+b}=b-4[/TEX]
3b = (b-4)*(3+b)
3b = 3b -4b -12 +b²
b² -4b -12 = 0
[TEX]b_1=2+\sqrt{4+12}=6[/TEX]
Der Wert für b2 kommt nicht in Frage, da er negativ ist.
Die Laufzeit der Maschine B beträgt 6 Stunden:
Probe:
[TEX]\frac{x}{3}+\frac{x}{6}=1[/TEX]
[TEX]\frac{2x}{6}+\frac{x}{6}=\frac{x}{2}=1[/TEX]
x = 2
Wenn Maschine A die Wäsche in 3 Stunden wäscht und Maschine B die Wäsche in 6 Stunden, dann ist die Wäsche in 2 Stunden fertig, wenn beide Maschinen zusammen laufen. 6 Stunden = 2 Stunden + 4 Stunden!
Hier im Forum findest du unter "Blogs" eine ausführliche Erläuterung zum "waagerechten Wurf", schau doch mal nach!
Wie nif7 geschrieben hat gilt
[TEX]n_1+n_2+n_3+n_4+n_5 = 150[/TEX]
Aus dieser Summe kennst du bereits n3 = 31 und n4 = 32
Diese beiden ziehst du von 150 ab und bekommst.
[TEX]n_1+n_2+n_5 = 87[/TEX]
Ferner hast du angeführt: n1 +n2 = 50
Daraus folgt, dass n5 = 37 ist.
Aus (n5 -n1) = 14 folgt n1 = 23
Wenn n1 + n2 = 50, dann ist n2 27
Folglich müsste deine Zahlenreihe so aussehen: 23, 27, 31, 32 und 37
Überleg doch mal! Wenn die Seitenlänge des Quadrates x beträgt, wie groß ist dann der Flächeninhalt dieses Quadrates???
c) Den maximalen Pegelstand berechnest du mit Hilfe der ersten Ableitung. Die wird Null gesetzt.
(-t² +4t)*e^(-0,5t) = 0
Da die e-Funktion nicht Null wird, muss der andere Faktor Null werden:
t² - 4t = 0
t = 4
Nach 4 Tagen wird der maximale Pegelstand erreicht.
d) Die Frage ist unverständlich: Was ist mit "nach Beginn des Anstiegs" gemeint? Welcher Zeitpunkt?
Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Pegelstand ebenfalls 0.
Zum Zeitpunkt t = 4 beträgt der Pegelstand 4,33 m. ( Du setzt für t = 4 in die Ausgangsgleichung ein.)
Bei der ersten Aufgabe sind die Faktoren a² und a³ in die Klammern einzumultiplizieren; anschließend fasst du zusammen.
1a) [TEX]\frac{1}{2}a^3 - a -\frac{1}{2}a^3+2a[/TEX]
Zusammenfassen zu: a
1b) [TEX]-3a -\frac{4}{a^2} +\frac{1}{a} -\frac{1}{a}+4a +\frac{3}{a^2}[/TEX]
Zusammenfassen zu:[TEX]4a-3a +\frac{3}{a^2}-\frac{4}{a^2} = a - \frac{1}{a^2}[/TEX]
Beim Intervallhalbierungsverfahren halbierst du die Intervalle, zwischen denen die gesuchte Wurzel liegt und näherst dich dem genauen Wert beliebig an.
Beispiel: [TEX]\sqrt{5}[/TEX]
Zunächst musst du die Wurzel eingrenzen
[TEX]2<\sqrt{5}<3[/TEX]
Denn 2²<5<3²
1. Intervall: [2;3]
Intervallhalbierung: (2+3)/2 = 2,5
[TEX]2<\sqrt{5}<2,5[/TEX]
2. Intervall: [2;2,5]
Intervallhalbierung: (2+2,5)/2 =2,25
[TEX]2<\sqrt{5}<2,25[/TEX]
3. Intervall [2;2,25]
Du musst jedes Mal überprüfen, ob die gewonnenen Werte größer oder kleiner sind als die gesuchte Wurzel
Der auf drei Nachkommastellen exakte Wurzelwert für 5 ist 2,2360.
Du kannst diesen Wert mit dem Verfahren aber auf beliebig viele Nachkommastellen annähern.
Wenn das schon eine Schwierigkeit sein sollte, dann wundert es mich sehr, wie du solche Aufgaben bewältigen willst. Das sind die Anfangsgründe der Äquivalenzumformung! Überlege mal durch welche Rechenoperation 0,02x auf der linken Seite verschwindet!
