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Im Grunde hast du doch die Rechenweise richtig erklärt. Wo ist das Problem?
Wenn du den Mittelpunkt M des Kreises mit den Endpunkten A und B der Sehne verbindest, bekommst du ein gleichschenkliges Dreieck ABM. AM = r und BM = r.
Der Radius halbiert die Sehne im Punkt C.
AC = s/2 = BC
In diesem Fall ist MC die Höhe h des Dreiecks ABM. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundlinie, folglich bildet der Radius im Schnittpunkt C rechte Winkel mit der Sehne.
Diese Aufgabe ist nicht eindeutig lösbar, da du nicht angegeben hast, welche Strecke man für "Kinder mit ausgestreckten Armen" ansetzen muss.
Die Höhe des Baumes hat mit seinem Umfang nichts zu tun.
Der kreisförmige Umfang des Baumes berechnet sich nach der Formel: [TEX]U = d*\pi[/TEX]
d = Durchmesser, hier 11,1 m
pi = Kreiszahl = 3,14
Rechnung: [TEX]U = 11,1*3,14 = 34,854 [/TEX]
Der Umfang des Baumes beträgt 34,85 m.
Geht man davon aus, dass die ausgestreckten Arme eines Kindes 1,20 m weit reichen, muss man bestimmen, wie oft 1,20 m in 34,85 m enthalten ist.
Rechnung: 34,85 : 1,2 = 29,04166...
29 Kinder könnten mit ausgestreckten Armen den Baum umfassen.
Was soll den x sein? Länge, Breite oder Höhe?
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet sich A = g*h
g = Grundlinie h = Höhe
Die Fläche eines Parallelogramms ist nicht nur von einer Größe abhängig, es sei denn es handelt sich hier um ein Quadrat: A = x² = x*x
Hallo Anne-Marie!
Wenn du weißt, dass c und d gleich Null sind, dann kannst du natürlich den Term (3c + d) weglassen.
Aus der Angabe, ..."berührt die x-Achse", geht hervor, dass an dieser Stelle eine waagerechte Tangente vorliegt. Daraus folgt, dass f'(x) = 0 ist. (Würde der Graph die x-Achse nicht berühren, sondern schneiden, läge eine andere Steigung als m = 0 vor.)
Deine Kurve hat nur zwei Nullstellen.
Die allgemeine Gleichung dritten Grades lautet:
f(x) = ax³ + bx² + cx +d
und f'(x) = 3ax² + 2bx + c
Berührt die x-Achse im Ursprung:
1) f(0) = 0 und
2) f'(0) = 0 !!!
(Hier liegt eine waagerechte Tangente vor.)
Hat an der Nullstelle x = -3 die Steigung 6
3) f(-3) = 0
4) f'(-3) = 6
Damit hast du vier Bedingungen, die zur Lösung ausreichen sollten:
I. d = 0
II. c = 0
III. 0 = -27a + 9b
IV. 6 = 27a - 6b
b = 2
a = 2/3
f(x) = (2/3)x³ + 2x²
Nochmal: Die Oberfläche des Zylinders besteht aus allen Außenflächen: Grundfläche (Kreis) + Mantel (Rechteck) + Deckfläche (Kreis). Bei Säulen sind Grund- und Deckfläche gleich groß.
Nein, die Oberfläche besteht aus ALLEN Flächen, Grundfläche, Deckfläche und Mantel!
Mit Hilfe der ersten Ableitung stellst du zunächst die Steigung der Tangente an der Stelle x = -2 fest.
f(x) = -x^4+6x² -5
f'(x) = -4x³ +12x
f'(-2) = -4(-2)³ +12(-2) = 32 -24 = 8
Als nächstes berechnest du die Ordinate des Berühurngspunktes:
f(-2) = -(-2)^4 +6(-2)² -5 = -16 + 24 - 5 = 3
Der Berührungspunkt der Tangente hat die Koordinanten P (-2/3)
Tangentengleichung: y = mx +b
3 = 8*(-2) + b
3 = -16 + b
b = 19
y = 8x +19 (Tangentengleichung)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, ist das Verhältnis der Anzahl der günstigen Fälle zur Anzahl der möglichen Fälle.
Bei deinem ersten Glücksrad gibt es 4 günstige Fälle (vier orangefarbene Felder), insgesamt gibt es 8 Felder. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist hier das Verhältnis 4 zu 8 oder
4/8 = 1/2
Bei dem zweiten Glücksrad gibt es 6 günstige Fälle (sechs orangefarbene Felder), insgesamt gibt es 12 Felder. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist hier 6 zu 12 oder 6/12 das ist ebenfalls 1/2. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist bei beiden Glücksrädern gleich groß.
Du musst bei allen Aufgaben das Verhältnis der orangefarbenen Felder zur Gesamtzahl der Felder feststellen. Bei dem ersten Glücksrad der Aufgabe b) beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 3 zu 8 also 3/8 Beim zweiten Glücksrad 2 zu 8 also 2/8. Beim zweiten Glücksrad hat man eine geringere Gewinnwahrscheinlichkeit.
c) (Erstes Rad) 4:12 (Zweites Rad) ebenfalls 4 : 12
Zu deinen Fragen:
a) Die zweite Ableitung kann man sich in diesem Fall sparen. Wenn du sie unbedingt machen willst, kannst du das natürlich tun. Es ist aber aus der ersten Ableitung offensichtlich, dass die zweite Ableitung für alle Radiuswerte postive Ergebnisse liefert, damit also ein Minimum vorliegen muss.
[TEX]O' = 6r\pi-2000*r^{-2}[/TEX]
[TEX]O'' = 6\pi +2*2000*r^{-3} = 6\pi+\frac{4000}{r^3}[/TEX]
b) Die Hauptbedingung ergibt sich aus der Berechnungsformel für die Oberfläche des Zylinders, wie bereits oben mitgeteilt.
O = 2G + M
Den Mantel muss man mit einbeziehen, weil der Mantel mit zur Oberfläche gehört!
Die Oberfläche des Zylinders setzt sich aus zwei Kreisflächen und einer Rechteckfläche (=Mantel) zusammen.
Wenn aus Stabilitätsgründen die Grundfläche des Zylinders verdoppelt werden soll, dann hat man natürlich 3 Kreisflächen.
[TEX]O = 3*r^2*\pi + 2*r*\pi*h[/TEX]
Das ist die Hauptbedingung.
Die Hauptbedingung findest du mit Hilfe der Oberflächenformel des Zylinders:
O = 2*G + M
G = Grundfläche M = Mantel
[TEX]G =r^2*\pi[/TEX]
[TEX]M = 2*r*\pi*h[/TEX]
Da die Grundfläche aus Stabilitätsgründen verdoppelt werden soll, ergibt sich folgende Hauptbedingung:
[TEX]O = 3*r^2*\pi + 2*r*\pi*h[/TEX]
Nebenbedingung: Das Volumen sei 1000 cm³
[TEX]V = r^2*\pi*h = 1000[/TEX]
Diese Nebenbedingung löst du nach h auf und setzt den Term dann in die Hauptbedingung ein:
[TEX]h = \frac{1000}{r^2*\pi}[/TEX]
[TEX]O = 3r^2\pi + 2*r*\pi * \frac{1000}{r^2*\pi}[/TEX]
Funktion:
[TEX]O = 3r^2\pi+\frac{2000}{r}[/TEX]
Nun die erste Ableitung bilden und sie Null setzen:
[TEX]O' = 6r\pi-\frac{2000}{r^2} = 0[/TEX]
[TEX]6r^3*\pi = 2000[/TEX]
r = 4,73
Bei einem Radius von 4,7 cm ergibt sich eine minimale Oberfläche.
Die Fläche des Parallelogramms berechnest du so:
A = g*h
Fall 1) Seitenlänge verdoppelt, Höhe verdreifacht:
A = 2g*3h = 6 gh (Die Fläche hat sich versechsfacht.)
Fall 2) Seitenlänge verdoppelt, Höhe vervierfacht:
A = 2g*4h = 8gh (Die Fläche hat sich verachtfacht.)
Fall 3) Seitenlänge verdoppelt, Höhe verfünffacht:
A = 2g*5h = 10 gh (Die Fläche hat sich verzehnfacht.)
@freezer: Wie hilft dein Beitrag dem Fragesteller???
Füge bitte einen eigenen Übersetzungsvorschlag bei, den wir dir gern korrigieren, denn das Forum ist kein Übersetzungsdienst!
Dein Text enthält einige Fehler:
Sally: ... It's rainy at the moment.
Katrin: ... It's not rainy here.
Katrin: ... Her name is Helen and she's an engineer.
Katrin: No, Cambridge
Katrin: Yes, she is. (PUNKT!)
Sally: ... Is it nice?
Katrin: Yes, it is.
Katrin: Yes, they are ...
Sally: What a pity. (Wie schade!)
Vielen Dank für deinen wertvollen Hinweis!
Deine Vorgehensweise ist bis dahin richtig.
Zur Erinnerung: Die Anzahl der Streifen sei n. Die Streifenbreite ist dann 1/n.
Die Untersumme aus den Rechteckstreifen berechnet sich demnach:
[TEX]\frac{1}{n}*[(\frac{1}{n})^2 +(\frac{2}{n})^2+(\frac{3}{n})^2 + ...\frac{(n-1)^2}{n^2}][/TEX]
Umgeformt zu:
[TEX]\frac{1}{n^3}*[1 + 4 + 9 ... (n-1)^2][/TEX]
In der eckigen Klammer steht nichts anderes als die Summe der Quadratzahlen, die nach folgender Formel berechnet wird:
[TEX]S_n = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/TEX]
Folglich erhält man als Untersumme U:
[TEX]U = \frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6n^3} =\frac{(n+1)*(2n+1)}{6n^2} = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2}[/TEX]
Umgeformt zu:
[TEX]U = \frac{2n^2}{6n^2}+\frac{3n}{6n^2}+\frac{1}{6n^2}[/TEX]
Das ist:
[TEX]U = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}[/TEX]
Wenn du nun die Anzahl der Streifen größer und größer werden lässt (damit werden die einzelnen Streifen schmaler und schmaler!) dann strebt n --->oo.
In der Summenformel für U streben die beiden letzten Brüche gegen Null, denn ihre Nenner wachsen über alle Grenzen.
So bleibt als gesuchte Fläche unter dem Parabelast zwischen den vorgegebenen Grenzen die Fläche: A = 1/3 FE
I. Gl.: x -17 = ab
Il. Gl.: x - 21 = ab²
III. Gl.: x - 23 = ab³
Gleichung I nach a auflösen:
[TEX]a=\frac{x-17}{b}[/TEX]
Diesen Term setzt du in Gleichung II ein:
[TEX]x - 21 = \frac{x-17}{b}*b^2 = (x-17)*b[/TEX]
Diese Gleichung löst du nach b auf.
[TEX]b = \frac{x-21}{x-17}[/TEX]
Das setzt du für b in die dritte Gleichung ein:
[TEX]x - 23 = \frac{(x-21)^2}{x-17}[/TEX]
Ausrechnen:
(x-23)*(x-17) = (x-21)²
x² -23x - 17x + 391 = x² - 42x + 441
-40x + 391 = -42x + 441
2x = 50
x = 25
Wenn x = 25 ist, ergibt sich der Wert für b:
[TEX]b =\frac{25-21}{25-17}=\frac{4}{8} = \frac{1}{2}[/TEX]
Daraus folgt:
[TEX]a = \frac{25-17}{0,5} = 16[/TEX]
a = 16
b = 1/2
x = 25
Probe: 25 - 17 = 16*(1/2) = 8
25-21 = 16* (1/2)^2 = 16*(1/4) = 4
25-23 = 16*(1/2)^3 = 16*[1/8] = 2
Das habe ich übersehen. Du musst beide Seiten als Potenz mit derselben Basis ausdrücken
[TEX]50^x = 0,000008 = \frac{8}{1000000}=\frac{1}{125000}= \frac{1}{50*50*50} = \frac{1}{50^3}[/TEX]
[TEX]50^x = \frac{1}{50^3} = 50^{-3}[/TEX]
x = -3
