Wenn du schon weißt, wie die Lissajous-Figuren entstehen, lass ich das technische mal weg. Nur so viel:
An das Oszilloskop werden 2 (sinusförmige) Wechselspannungen angeschlossen, die auf dem Bildschirm in x- bzw y-Richtung angezeigt werden. Dabei entstehen Bilder (auch wenn die Frequenzen nicht in ganzzahligem Verhältnis stehen), allerdings sind die Bilder nur dann die geschlossenen Lissajous-Figuren, wie du sie kennst, wenn die Frequenzen eben ganzzählig zueinander sind.
Du kannst dir das als zwei Pendel mit verschiedenen Frequenzen vorstellen: Wenn beide gleichzeitig durch die Mitte laufen, solle ein Ton erzeugt werden. Wann immer erzeugt wird, machst du einen Punkt auf der Zeitachse. Das daraus entstehende Muster ist nur dann periodisch (wiederholt sich also bzw der Ton wird in einem bestimmten, immer gleichen Rhythmus erzeugt), wenn die Perioden der Pendel zueinander in ganzzahligem Verhältnis stehen. Ähnliches kannst du an der Ampel bei zwei Blinkern beobachten: Wenn die Blinkfrequenzen nicht ganzzahlig zueinander sind (sie also zum Beispiel nur geringfügig verschiedene Frequenzen haben), verschieben sich die Rhythmen der Blinker gegeneinander, sind sie dagegen ganzzahlig, gibt es einen bestimmten, immer wiederkehrenden Rhythmus der Blinker zueinander. Es gibt wirklich sauviele Möglichkeiten, sich das vorzustellen.
Am Oszilloskop siehst du, wenn die Frequenzen nicht ganzzahlig zueinander sind, zwar auch Muster, diese bewegen sich aber und sind insofern niemals gleich. Wenn das Oszilloskop seinen Bildschirm nicht löschen würde, sondern alle jemals abgebildeten Linien dauerhaft anzeigen würde, würde du nach einer Weile den ganzen Bildschirm mit Linien gefüllt haben, bis nur noch ein leuchtendes Rechteck zu sehen ist.
Aus Wiki: Die Form der Figuren erlaubt genaue Rückschlüsse auf Frequenz und Phasenlage der beiden Spannungen. Bei gleichen Frequenzen (v = 1:1) kann man an der elliptischen Figur die Phasendifferenz ablesen. Bei zwei fast gleichen Frequenzen (oder einem Frequenzverhältnis, das sehr nahe an einem der einfachen rationalen Verhältnisse liegt) zeigt der Schirm des Oszilloskops eine zwar geschlossene, aber sich zeitlich verändernde Figur. So kann man mit hoher Empfindlichkeit kleine Frequenzunterschiede messen.
Die fett markierten Punkte sind die Gründe, warum man sich diese Figuren überhaupt anschaut. Heutzutage gibts da freilich bessere Methoden, als von Hand solange an den Spannungen zu drehen, bis man endlich eine statische Ellipse hat - aber früher hat man das so gemacht. Vorteile hat das nur, wenn man gerne minutenlang auf einen Bildschirm starrt und dabei an kleinen Knöpfen dreht. 
