Ableitung - Überprüfung

exilsay

Hallo,

da Ableitungen irgendwie nicht so zu meinen stärken zählen, würde ich gerne um eine Überprüfung meiner Lösung bitten

1. Aufgabenstellung: (1. Ableitung)
[TEX]x\sqrt{9-x}[/TEX]

1. Lösungsweg: (Produkt + Kettenregel)

= [TEX](9-x)^\frac{1}{2} + x*\frac{1}{2}*(9-x)\frac{-1}{2}*-1[/TEX]

= [TEX]\frac{(9-x)^\frac{1}{2}-x}{2(9-x)\frac{1}{2}}[/TEX]

2. Aufgabenstellung: (3. Ableitung)
[TEX]\frac{1}{\sqrt{x}}[/TEX]

2. Lösungsweg:

[TEX]f'(x)= -\frac{1}{2}x^\frac{-1}{2}[/TEX]
[TEX]f''(x)= \frac{3}{4}x^\frac{-5}{2}[/TEX]
[TEX]f'''(x)= -\frac{15}{8}x^\frac{-7}{2}[/TEX]
Dazu habe ich jetzt eine Frage: Wie müsste ich es umschreiben, wenn ich die Ableitungen als Brüche darstellen möchte? Den unteren teil kann ich mir denken (z. B. bei der 3. Ableitung, würde unten dann stehen, die 2te Wurzel aus x hoch 7). Muss ich dann oben einfach nur [TEX]-\frac{15}{8}[/TEX] hinschreiben?

Olivius

1. Aufgabe:

[TEX]f'(x) = \sqrt{9 - x} - \frac{x}{2*\sqrt{9-x}}[/TEX]

2. Aufgabe:

[TEX]f(x) =\frac{1}{\sqrt{x}}[/TEX]

[TEX]f'(x) = -\frac{1}{2*x^{1,5}}[/TEX]

[TEX]f''(x) = \frac{0,75}{x^{2,5}}[/TEX]

[TEX]f'''(x) =-\frac{1,875}{x^{3,5}}[/TEX]

exilsay

Danke, für die Antwort.
Kann ich bei der ersten Aufgabe auch die [TEX]\sqrt{9-x}[/TEX] über den Bruch, zu dem [TEX]x[/TEX] schreiben?

Und noch eine andere Frage:
Momentan hänge ich bei dieser Ableitung fest: [TEX](I.) f(x)= 0,5\sqrt{x}*\frac{480}{(x+2)}[/TEX] fest.
Um es für mich leichter zu machen, habe ich es wie folgt umgeschrieben:
[TEX](II.) f(x)= 0,5*x^{\frac{1}{2}}*480*(x-2)^{-1} [/TEX]

Und jetzt stehe ich voll auf dem Schlauch. Wenn ich die [TEX]I.[/TEX] sehe, würde ich bei dem Teil [TEX]0,5\sqrt{x}[/TEX] die Kettenregel anwenden und bei dem Teil mit [TEX]\frac{480}{(x+2)}[/TEX] die Quotientenregel. Aber da zwischen beiden ein [TEX]*[/TEX] steht, müsste ich doch die Produktregel anwenden und wenn ich die [TEX]II.[/TEX] sehe, würde ich erst einmal alles miteinander verrechnen und dann irgendwie die Ableitung davon bilden...
Wie muss ich den jetzt vorgehen?

Olivius

Zu deiner ersten Frage:

Die Wurzel kannst du nicht ohne Weiteres auf den Bruchstrich setzen. Möglich ist das, aber dann musst du die Wurzel mit dem Nenner erweitern!

Die zweite Aufgabe solltest du zunächst vereinfachen:

[TEX]f(x) = \frac{240*\sqrt{x}}{x+2}}[/TEX]

Diese Funktion differenzierst du nach der Quotientenregel:

[TEX]f'(x) = \frac{120}{\sqrt{x}(x+2)} - \frac{240*\sqrt{x}}{x+2}[/TEX]

exilsay

Danke konnte es jetzt nachrechnen (und zwar richtig ;))

Ok, hier noch etwas (Sry, bin mir aber halt extrem unsicher, weil ich keine Lösungen zu den Aufgaben habe)

Geg.: [TEX]f(x,y)=x^3*\ln (y)[/TEX] und man soll die Hesse-Matrix angeben.

Mein Lösungsweg sieht wie folgt aus:

[TEX]f^'_x = 3x^2*\ln (y)[/TEX]

[TEX]f^'_{xx} = 6x*\ln (y)[/TEX]

[TEX]f^'_{xy} = 3x^2*\frac{1}{y}[/TEX]

[TEX]f^'_y = x^3*\frac{1}{y}[/TEX]

[TEX]f^'_{xy} = x^3*\frac{-1}{y}[/TEX]

[TEX]f^'_{yy} = x^3*\frac{-1}{y}[/TEX]

Die Hesse-Matrix, würde dann wie folgt aussehen:

[TEX]H_f(x)=\begin{pmatrix}
6x*\ln (y) & x^3*\frac{-1}{y}\\
3x^2*\frac{1}{y} & x^3*\frac{-1}{y}
\end{pmatrix}[/TEX]

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