Analysis - Mathewiederholung

Vorüberlegung: Wie könnte der Graph verlaufen?

Nullstellen: Ein Bruch wird null, wenn der Zähler null wird und der Nenner von null verschieden.

Daraus folgt sofort: 1. Nullstelle bei Minus Wurzel aus drei
2. Nullstelle bei Plus Wurzel aus drei

Setzt man x = 0, erhält man den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Der Zähler wird 3 und der Nenner 2.
Die Kurve schneidet die y-Achse bei 1,5.

Vermutung: Zwischen x = -1,73... und x = 0 befindet sich ein Maximum.

Um die 1. Ableitung der Funktion zu erhalten, ist die Anwendung der Quotientenregel sinnvoll.

und so weiter...

Überlegung und Vorarbeit zum Berechnen der Extremwerte:

Quotientenregel anwenden:

u = 3-x² --> u' = - 2x

v = 2 e^x ---> v' = 2e^x

v² benötige ich hier noch nicht, da ich den Zähler null setze.

u'V - V'U = 0

eingestzt und zusammengefaßt erhalte ich

e^x (-4x - 6 + 2x²) = 0

da e^x mit großer Wahrscheinlichkeit nicht 0 wird, kann nur noch der Ausdruck in der Klammer null werden.

Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt bei mir:

x1 = - 1; x 2 = 3

Ohne jetzt noch die zweite Ableitung zu bilden, weiß ich, daß bei x = -1 ein Maximum vorhanden ist.
bei x = + 3 ist dann ein Minimum vorhanden.

Errechnet man jetzt noch die entsprechenden Funktionswerte bei x1 und x2, kann der prinzipielle Kurvenverlauf skizziert werden.