Analysis - Mathewiederholung

    Hallo Leute,
    ich stehe bei meinen Mathehausaufgaben total auf dem Schlauch
    Die Hausaufgabe ist mir aufgrund einer Zensur sehr wichtig und möchte somit euch um Rat und Hilfe bitten.

    Gegeben ist die Funktion f(x)= (3-x²)/(2e^x) (Es handelt sich also um einen Bruch und eine e-Funktion)

    Gesucht sind nun: lokale Extrempunkte

    Mein CAS-Taschenrechner gibt mir total den Mist wieder bei der 1./2. Ableitung


    Außerdem ist ein 2. Teil:

    Der Graph von f schneidet die x-Achso im Punkt So(Xo/Yo), Xo>o (die 'o' sind Nullen)
    Nun soll ich die Gleichung der Geraden g ermittel, die durch So geht und senkrecht auf der Tangende an den Graphen von f in So steht.

    Hat jemand eine Idee oder Erklärung, wie ich die Aufgaben bewältigen kann?
    Über hilfreiche Antworten würde ich mich freuen!!

    Vorüberlegung: Wie könnte der Graph verlaufen?

    Nullstellen: Ein Bruch wird null, wenn der Zähler null wird und der Nenner von null verschieden.

    Daraus folgt sofort: 1. Nullstelle bei Minus Wurzel aus drei
    2. Nullstelle bei Plus Wurzel aus drei

    Setzt man x = 0, erhält man den Schnittpunkt mit der y-Achse.

    Der Zähler wird 3 und der Nenner 2.
    Die Kurve schneidet die y-Achse bei 1,5.

    Vermutung: Zwischen x = -1,73... und x = 0 befindet sich ein Maximum.

    Um die 1. Ableitung der Funktion zu erhalten, ist die Anwendung der Quotientenregel sinnvoll.

    und so weiter...

    Überlegung und Vorarbeit zum Berechnen der Extremwerte:

    Quotientenregel anwenden:

    u = 3-x² --> u' = - 2x

    v = 2 e^x ---> v' = 2e^x

    v² benötige ich hier noch nicht, da ich den Zähler null setze.

    u'V - V'U = 0

    eingestzt und zusammengefaßt erhalte ich

    e^x (-4x - 6 + 2x²) = 0

    da e^x mit großer Wahrscheinlichkeit nicht 0 wird, kann nur noch der Ausdruck in der Klammer null werden.

    Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt bei mir:

    x1 = - 1; x 2 = 3

    Ohne jetzt noch die zweite Ableitung zu bilden, weiß ich, daß bei x = -1 ein Maximum vorhanden ist.
    bei x = + 3 ist dann ein Minimum vorhanden.

    Errechnet man jetzt noch die entsprechenden Funktionswerte bei x1 und x2, kann der prinzipielle Kurvenverlauf skizziert werden.