Lösen einer Gleichung

1. offizieller Beitrag

    Hallo,

    ich arbeite gerade die ganzen Mathe Themen durch und versuche Aufgaben zu lösen die mir schwierig erscheinen. Jetzt habe ich allerdings eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme (habe Probleme mit Funktionen/Gleichungen, wenn ein Bruch über dem Bruch ist...)

    Die Gleichung lautet wie folgt (mit dem TEX hat die Eingabe irgendwie nicht funktioniert bzw. ich habe es nicht hinbekommen, deswegen das kleine Bild):

    [Blockierte Grafik: http://img526.imageshack.us/img526/5916/gleichung.gif]

    Ich habe auch im Grunde schon die Lösung. Folgendes stand dabei:
    Multiplikation des Zählers und Nenners im ersten Buch mit [TEX]1-z[/TEX] führt zu [TEX]\frac{2-2z-z}{(1-z)(1+z)}=\frac{6}{2z+1}[/TEX]. Multiplikation mit [TEX](1-z^2)(2z+1)[/TEX] ergibt [TEX](2-3z)(2z+1)=6-6z^2[/TEX]. Somit ist [TEX]z = 4[/TEX]

    Mein Problem dabei: Ich verstehe den ersten zwischen Schritt nicht :( da ich echte Probleme hab (wie oben schon geschrieben), wenn ein Bruch über dem Bruch ist...
    Wenn mir das jemand Schritt für Schritt erklären könnte, wäre ich sehr dankbar! :)

    Vielen Dank schon mal im Voraus

    • Offizieller Beitrag

    Der erste Bruch ist ein Doppelbruch, wobei der Zähler aus

    [TEX]2 - \frac{z}{1-z}[/TEX]

    besteht.

    Hier erweiterst du die 2 mit (1-z) und kannst anschließend den Zähler addieren:

    2- 2z -z ergibt als Zähler: 2 - 3z

    Nun hast du den Bruch [TEX]\frac{2 -3z}{1 - z}[/TEX]

    der durch (1 + z) dividiert wird. Das ergibt dann:

    [TEX]\frac{2-3z}{(1-z)(1+z)}[/TEX]

    Diesen Nenner kannst du nach der dritten Binomischen Formel umformen zu: (1 - z²)

    Um die Brüche zu beseitigen, kannst du die gesamte Gleichung mit den beiden Nennern multiplizieren:

    (2-3z)(2z+1) = 6(1-z²)

    4z +2 - 6z² - 3z = 6 - 6z²

    z + 2 = 4

    z = 4