Beschleunigte Bewegung

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"Zwei Straßenbahnhaltestellen sind 300m voneinander entfernt. Die Beschleunigung des Triebwagens beträgt 0,75m/s² und die Bremsverzögerung -1,60m/s². Die maximale Geschwindigkeit der Straßenbahn beträgt 50km/h.
1. Wie lange braucht die Bahn zwischen den Haltestellen?
2. Wie lange braucht die Bahn OHNE Geschwindigkeitsbegrenzung?"

1. habe ich ja noch herausbekommen (in der Hoffnung, das ist auch alles richtig so!) aber bei 2. weiß ich echt nicht weiter.
Gegeben sind ja dann im Prinzip der Weg s=300m, Beschleunigung a1=0,75m/s² und die Bremsung a2=-1,60m/s². Gesucht die Zeit t. Aber wie berechne ich die Zeit, wenn ich nur diese 3 Werte gegeben habe?

qweet

zu 2.

Es wird beschleunigt
und das geschieht einen Weg s1 lang.

Dann wird wieder
jedoch negativ beschleunigt
und das geschieht einen Weg s2 lang.

Beide Wege zusammen müssen
300 Meter ergeben.

Die allemeine Formel
für den Weg lautet:
[TEX]s(t) = \dfrac{1}{2}a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0[/TEX]

Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt Null
also ist
[TEX]v_0 \cdot t = 0[/TEX]
und fällt damit raus aus der Gleichung.

[TEX]s_0[/TEX] ist auch Null
und fällt aus der Gleichung
auch raus.

Es bleibt die Beschleunigung,
die Zeit
und der Weg.

[TEX]s_1(t) = \dfrac{1}{2}a_1 \cdot t^2[/TEX]

[TEX]s_2(t) = \dfrac{1}{2}a_2 \cdot t^2[/TEX]

[TEX]s_1(t) + s_2(t) = 300m[/TEX]

[TEX]\dfrac{1}{2}a_1 \cdot t^2 + \dfrac{1}{2}a_2 \cdot t^2 = 300m[/TEX]

[TEX]\dfrac{1}{2}0,75 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 + \dfrac{1}{2} \left(-1,6 \dfrac{m}{s^2} \right) \cdot t^2 = 300m[/TEX]

[TEX]0,375 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 - 0,8 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 = 300m[/TEX]

[TEX]-0,425 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 = 300m[/TEX]

[TEX]t^2 = \dfrac{300m}{-0,425m} \cdot s^2[/TEX]

[TEX]t^2 = -705,88s^2[/TEX]

Hoppla,
eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen,
das wird zu keiner Lösung führen.

Aber vielleicht war meine Annahme falsch
und ich muss anstatt
+300m
eben
-300m
einsetzen.

Die 300 Meter werden halt nicht aufgebaut
sondern abgebaut,
es ist ja nur eine Betrachtungsweise
von wo ich meinen Bezugspunkt setze.

Dieser kann beim Start der Bahn
"nach vorn" sein
oder halt vom Ziel aus
300 Meter "zurück".

Dann hab ich am Ende:
[TEX]t^2 = +705,88s^2[/TEX]

[TEX]t = 26,568s[/TEX]

nif7

Wenn wir mit voller Beschleunigung losfahren und das Bremsen vergessen sind wir nach 26s bei:

[TEX]s = \dfrac{a}{2} \cdot t² = \dfrac{0.75 \dfrac{m}{s²}}{2} \cdot (26s)² = 254m[/TEX]

Wenn die Bahn aber 300m weit kommen und dabei auch noch wieder abbremsen soll, dann braucht sie da auf jeden Fall länger zu!

Bei der Formel für [TEX]s_2(t)[/TEX] ist die maximale Geschwindigkeit zu berücksichtigen, die die Bahn nach dem Streckenabschnitt [TEX]s_1[/TEX] hat und die Beschleunigung nicht genauso lange braucht, wie das Abbremsen (also unterschiedliche t's).

Für die Beschleunigung gilt also:

[TEX]s_1(t_1) = \dfrac{a_1}{2} \cdot t_1^2[/TEX]

[TEX]v_{max}(t_1) = a_1 \cdot t_1[/TEX]

Für das Abbremsen:

[TEX]s_2(t_2) = \dfrac{a_2}{2} \cdot t_2^2 + v_{max} \cdot t_2[/TEX]

[TEX]v_2(t_2) = a_2 \cdot t_2 + v_{max}[/TEX]

Insgesamt ist der Weg 300m lang und die Endgeschwindigkeit 0:

[TEX]s_1(t_1) + s_2(t_2) = 300m[/TEX]

[TEX]v_2(t_2) = 0[/TEX]

Insgesamt brauch die Bahn dann [TEX]t = t_1 + t_2[/TEX]

LG nif7

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