Beschleunigte Bewegung

1. offizieller Beitrag

    "Zwei Straßenbahnhaltestellen sind 300m voneinander entfernt. Die Beschleunigung des Triebwagens beträgt 0,75m/s² und die Bremsverzögerung -1,60m/s². Die maximale Geschwindigkeit der Straßenbahn beträgt 50km/h.
    1. Wie lange braucht die Bahn zwischen den Haltestellen?
    2. Wie lange braucht die Bahn OHNE Geschwindigkeitsbegrenzung?"

    1. habe ich ja noch herausbekommen (in der Hoffnung, das ist auch alles richtig so!) aber bei 2. weiß ich echt nicht weiter.
    Gegeben sind ja dann im Prinzip der Weg s=300m, Beschleunigung a1=0,75m/s² und die Bremsung a2=-1,60m/s². Gesucht die Zeit t. Aber wie berechne ich die Zeit, wenn ich nur diese 3 Werte gegeben habe?

    zu 2.

    Es wird beschleunigt
    und das geschieht einen Weg s1 lang.

    Dann wird wieder
    jedoch negativ beschleunigt
    und das geschieht einen Weg s2 lang.

    Beide Wege zusammen müssen
    300 Meter ergeben.

    Die allemeine Formel
    für den Weg lautet:
    [TEX]s(t) = \dfrac{1}{2}a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0[/TEX]

    Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt Null
    also ist
    [TEX]v_0 \cdot t = 0[/TEX]
    und fällt damit raus aus der Gleichung.

    [TEX]s_0[/TEX] ist auch Null
    und fällt aus der Gleichung
    auch raus.

    Es bleibt die Beschleunigung,
    die Zeit
    und der Weg.

    [TEX]s_1(t) = \dfrac{1}{2}a_1 \cdot t^2[/TEX]

    [TEX]s_2(t) = \dfrac{1}{2}a_2 \cdot t^2[/TEX]

    [TEX]s_1(t) + s_2(t) = 300m[/TEX]

    [TEX]\dfrac{1}{2}a_1 \cdot t^2 + \dfrac{1}{2}a_2 \cdot t^2 = 300m[/TEX]

    [TEX]\dfrac{1}{2}0,75 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 + \dfrac{1}{2} \left(-1,6 \dfrac{m}{s^2} \right) \cdot t^2 = 300m[/TEX]

    [TEX]0,375 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 - 0,8 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 = 300m[/TEX]

    [TEX]-0,425 \dfrac{m}{s^2} \cdot t^2 = 300m[/TEX]

    [TEX]t^2 = \dfrac{300m}{-0,425m} \cdot s^2[/TEX]

    [TEX]t^2 = -705,88s^2[/TEX]

    Hoppla,
    eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen,
    das wird zu keiner Lösung führen.

    Aber vielleicht war meine Annahme falsch
    und ich muss anstatt
    +300m
    eben
    -300m
    einsetzen.

    Die 300 Meter werden halt nicht aufgebaut
    sondern abgebaut,
    es ist ja nur eine Betrachtungsweise
    von wo ich meinen Bezugspunkt setze.

    Dieser kann beim Start der Bahn
    "nach vorn" sein
    oder halt vom Ziel aus
    300 Meter "zurück".

    Dann hab ich am Ende:
    [TEX]t^2 = +705,88s^2[/TEX]

    [TEX]t = 26,568s[/TEX]

    2 Mal editiert, zuletzt von qweet (24. November 2012 um 12:04)

    • Offizieller Beitrag

    Wenn wir mit voller Beschleunigung losfahren und das Bremsen vergessen sind wir nach 26s bei:

    [TEX]s = \dfrac{a}{2} \cdot t² = \dfrac{0.75 \dfrac{m}{s²}}{2} \cdot (26s)² = 254m[/TEX]

    Wenn die Bahn aber 300m weit kommen und dabei auch noch wieder abbremsen soll, dann braucht sie da auf jeden Fall länger zu!

    Bei der Formel für [TEX]s_2(t)[/TEX] ist die maximale Geschwindigkeit zu berücksichtigen, die die Bahn nach dem Streckenabschnitt [TEX]s_1[/TEX] hat und die Beschleunigung nicht genauso lange braucht, wie das Abbremsen (also unterschiedliche t's).

    Für die Beschleunigung gilt also:

    [TEX]s_1(t_1) = \dfrac{a_1}{2} \cdot t_1^2[/TEX]

    [TEX]v_{max}(t_1) = a_1 \cdot t_1[/TEX]

    Für das Abbremsen:

    [TEX]s_2(t_2) = \dfrac{a_2}{2} \cdot t_2^2 + v_{max} \cdot t_2[/TEX]

    [TEX]v_2(t_2) = a_2 \cdot t_2 + v_{max}[/TEX]

    Insgesamt ist der Weg 300m lang und die Endgeschwindigkeit 0:

    [TEX]s_1(t_1) + s_2(t_2) = 300m[/TEX]

    [TEX]v_2(t_2) = 0[/TEX]

    Insgesamt brauch die Bahn dann [TEX]t = t_1 + t_2[/TEX]

    LG nif7

    Menschen, die etwas wollen, finden Wege. Menschen, die etwas nicht wollen, finden Gründe.