Mathe-Hausaufgabe (Funktionen)

1. offizieller Beitrag

    hey Leute!
    Nachdem ich nun über eine Stunde rum gerätselt und gegoogelt habe, habe ich beschlossem mich hier anzumelden, um hilfe bei dieser aufgabe zu kriegen. Ich wiederhole gerade das 10. Schuljahr eines gymnasiums, daher ist es wichtig, dass ich imemr alles habe und auch verstehe.
    Hier erstmal die Aufgabe:

    Ein rechtwinkliges dreieck mit der Hpotenuse 6 cm wird um eine kathete gedreht. Dabei entsteht ein Kegel.
    a) Bestimmte das Volumen V(r) des Kegels in Abhängigkeit vom Radius r des Kegels.
    Berechne V(2) und V(3).
    b) gib die definitionsmenge der funktion an und zeichne den dazugehörigen graphen mit dem gtr.
    c) bestimme mit dem gtr für welchen radius r das volumen des kegels maximal ist.


    So, der Teil mit dem Gtr ist mir klar, wie man ihn macht, allerdings muss ich ja erst a) lösen. hoffe ihr könnt mir denkanstöße geben.

    Es gilt der Satz des Pythagoras.

    Einmal ist der Radius 2cm,
    eimmal 3cm.

    [TEX]h^2+r^2 = c^2[/TEX]

    [TEX]h^2 = c^2-r^2[/TEX]

    [TEX]h_1 = \sqrt{c^2-r^2} = \sqrt{(6cm)^2-(2cm)^2} [/TEX]

    [TEX]h_1 = 5,66cm[/TEX]

    [TEX]h_2 = \sqrt{c^2-r^2} = \sqrt{(6cm)^2-(3cm)^2[/TEX]

    [TEX]h_2 = 5,2cm[/TEX]

    Flächeninhalt eines Kreises:
    [TEX]A = \pi r^2[/TEX]

    Volumeninhalt eines Kegels:
    [TEX]V = \frac{A \cdot h}{3}[/TEX]

    Funktion:
    [TEX]V(r) = \frac{\pi r^2 \cdot h}{3}[/TEX]

    [TEX]V(2) = \frac{\pi (2cm)^2 \cdot 5,66cm}{3} = 23,71cm^3[/TEX]

    [TEX]V(3) = \frac{\pi (3cm)^2 \cdot 5,2cm}{3} = 49,01cm^3[/TEX]

    Bei einem Radius von 2cm
    beträgt das Volumen des Kegels
    23,71 Kubikzentimer.

    Bei einem Radius von 3cm
    beträgt das Volumen des Kegels
    49,01 Kubikzentimeter.

    Wow, jede Menge Formeln. Danke erstmal.
    Ich verstehe nur nicht, wieso du bei der funktion V(r) unten durch 3 machst, also warum durch 3. ist das wegen der Hypotenuse, die 6 cm hat? Also die Hälfte?
    Hätte ich die ganzen formeln gewusst hätte ich es wohl eher gewusst. Vielen Dank! :D

    Ist die Definitionsmenge eig. alle positiven zahlen? Ist doch eig. das einzig logische, oder?
    Eine frage hab ich auch noch: Wie gib ich die formel allgemein in den gtr ein? denn da gibt es ja jetzt 2 möglichkeiten. einmal mit 5,66 cm und einmal mit 5,2 cm.

    Einmal editiert, zuletzt von PieceOfCrazy (16. September 2012 um 17:44)

    • Offizieller Beitrag

    Hi,

    Zitat

    Ich verstehe nur nicht, wieso du bei der funktion V(r) unten durch 3 machst, also warum durch 3. ist das wegen der Hypotenuse, die 6 cm hat? Also die Hälfte?


    Die Formel für einen Kegel lautet nunmal so: [TEX]\frac{1}{3} \cdot Grundfläche \cdot Höhe[/TEX]

    Zitat

    Ist die Definitionsmenge eig. alle positiven zahlen? Ist doch eig. das einzig logische, oder?


    Die Definitionsmenge gibt immer an, für welche Werte (in diesem Fall r) die Funktion (in diesem Fall V(r)) definiert ist. Von dem her wären alle reellen Zahlen erlaubt... Sinn würden negative Werte hier im Gesamtzusammenhang allerdings nicht machen.

    Zitat

    Eine frage hab ich auch noch: Wie gib ich die formel allgemein in den gtr ein? denn da gibt es ja jetzt 2 möglichkeiten. einmal mit 5,66 cm und einmal mit 5,2 cm.

    Warum nicht die ganz allgemeine Formel? Schließlich willst du es nicht für ein bestimmtes r, sondern für alle beliebigen r.

    [TEX]\displaystyle{V = \frac{\pi r^2 \cdot \sqrt{(6cm)^2-r^2}}{3}}[/TEX]

    LG nif7

    Menschen, die etwas wollen, finden Wege. Menschen, die etwas nicht wollen, finden Gründe.

    so, erstmal nochmal Danke.
    Ich war nur wegen der 3 verwirrt, weil die Formel bei uns im buch ohne die 3 steht. Deswegen wusst ich nicht, was die da soll. dachte die kommt irgendwoher. Ich hab inzwischen die Aufgabe verstanden und sauber in meinem heft. Zwar ein bisschen anders als hier, aber vom Weg her ist es das gleiche.
    Vielen Dank!