h-Methode

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    Bei deiner Aufgabe geht es bei der Funktion f'(x) = [TEX]3x^2 + 7x +10[/TEX] um den Übergang von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung im Punkt [TEX]x_0 = -1[/TEX].

    Grundsätzlich gilt: [TEX]m_s = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/TEX]

    [TEX]m_s = \frac{3(-1+h)^2+7(-1+h) +10 -[3(-1)^2+7(-1)+10]}{h}[/TEX]

    [TEX]m_s = \frac{3(1 - 2h +h^2)+7(-1+h) +10 -3 + 7 -10}{h}[/TEX]

    [TEX]m_s = \frac{3h^2 + h}{h}[/TEX]

    Für den Fall h ungleich Null darf man kürzen und erhält: [TEX]m_s = 3h +1[/TEX]

    Nun lässt man h eine Nullfolge durchlaufen, das bedeutet, h wird kleiner und kleiner.

    Mathematisch ausgedrückt wird das mit dem Limes.

    Limes (3 h +1) für h gegen Null wird 1.

    Das heißt: Die Tangentensteigung der Funktion f(x) = [TEX]3x^2 + 7x +10[/TEX] an der Stelle [TEX]x_0 = -1[/TEX] beträgt. +1.

    Ich habe noch eine Frage, die hat aber nichts mit der h-Methode zutun. Trotzem hoffe ich, dass du mir helfen kannst :) undzwar wenn ich rausfinden muss ob ein ganzrationaler Term punkt- oder Achsensymmetrisch ist, muss ich ja die exponenten betrachten. Aber wie sieht das bei diesen Aufgaben aus?

    1)
    x
    --- <- soll einen bruchstrich darstellen
    x²+1

    2) x(x-1)(x+1)

    3) 1/6² -x²-√(2)+1

    Danke im vorraus :)

    4 Mal editiert, zuletzt von Mathetrottel (17. Dezember 2011 um 20:57)

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Mathetrottel

    Ich habe noch eine Frage, die hat aber nichts mit der h-Methode zutun. Trotzem hoffe ich, dass du mir helfen kannst :) undzwar wenn ich rausfinden muss ob ein ganzrationaler Term punkt- oder Achsensymmetrisch ist, muss ich ja die exponenten betrachten. Aber wie sieht das bei diesen Aufgaben aus?

    1. x
    --- <- soll einen bruchstrich darstellen
    x²+1

    2. x(x-1)(x+1)

    3. 1/6² -x²-√(2)+1

    Danke im vorraus :)

    Deine Funktionen sind nicht eindeutig lesebar. Warum nutzt du nicht die Tex-Funktion?

    Ich schreibe die Funktionen noch einmal hin, und du entscheidest, ob du es so gemeint hast.

    1) [TEX] f(x) =\frac{x}{x^2+1}[/TEX]

    2)[TEX]f(x) = x(x-1)(x+1)[/TEX]

    3) [TEX]f(x) = \frac{1}{36} -x^2 -\sqrt(2) +1 = \frac{37}{36} - x^2 - \sqrt2[/TEX]

    Bei diesen Funktionen sollst du nun entscheiden, ob sie punkt- oder achsensymmetrisch sind?

    • Offizieller Beitrag

    Bei der Überprüfung einer Funktion bezüglich ihrer Symmetrie gilt ganz allgemein:

    Wenn f(x1) = f(-x1) ist, dann liegt Achsensymmetrie zur y-Achse vor.

    Wenn f(x1) = -f(-x1) ist, dann liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor.

    Als Beispiel rechne ich dir deine erste Aufgabe vor:

    [TEX]f(x) = \frac{x}{x^2 +1}[/TEX]

    Als Überprüfungspunkt wählst du x1 = 1 mit f(x1) = 0,5.

    Wenn Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, dann müsste der Funktionswert von f(-1) ebenfalls 0,5 sein, - ist er aber nicht, sondern: - 0,5.
    Damit ist die Bedingung für die Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt.

    Nein wir sollen lediglich uns die Exponenten anschauen und anhand von denen entscheiden, ob die Achsen- oder Punktsymmetrisch sind. D.h. gerade Exponenten = Puntsymmetrisch und ungerade Exponenten = Achsensymmetrisch. Doch bei diesem Aufgaben waren meiner Meinung nach, die Exponenten nicht eindeutig erkennbar. Ich hoffe ihr versteht jetzt was ich meine und könnt mir helfen :)

    ja genau das meine ich. JA genau ich soll das anhand der Exponenten entscheiden, das ist an sich kein Problem. Nur wie gesagt, bin ich wegen der Wurzeln und Klammern verwirrt und kann die Exponenten nicht erkennen.

    2 Mal editiert, zuletzt von Mathetrottel (18. Dezember 2011 um 13:37)

    • Offizieller Beitrag

    Dann kannst du bei der Aufgabe 2) u. 3) sofort entscheiden, welche Symmetrie vorliegt. Bei gebrochen rationalen Funktionen ist das nicht ganz so einfach; da musst du sowohl das Polynom des Zählers als auch das des Nenners in Betracht ziehen. (Bei der Aufgabe 1 ist die Zählerfunktion ungerade, die Nennerfunktion hingegen gerade. Insgesamt handelt es sich bei f(x) um eine ungerade Funktion.) Bei geraden Funktionen liegt Achsensymmetrie vor, bei ungeraden Punktsymmetrie.

    ups ja stimmt. Danke, aber wie erkenne ich das bei dem ersten Beispiel?

    Ich habe noch einige Fragen, da ich demnächst eine Klausur schreibe. Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen

    1. wenn ich Nullstellen mithilfe der Substitution berechne und ein positiver Wert rauskommt, ist ja sowohl der negative als auch der positive Wert eine Nullstelle, oder? Und wenn ein negativer Wert rauskommt, dann ist lediglich der negative Wert eine Nullstelle, oder auch der positive??

    2.Wenn ich das Unendlichkeitsverhalten untersuche, setze ich ja nur für x einmal -1000 und einmal +1000 ein. muss ich bei dieser Aufgabe etwas bestimmtes beachten oder kann ich das einfach in den Rechner tippen mit den klammern undso? f(x)=(x-1)² (x-7)

    3. kann man bei so einem Term auch die Linearfaktorzerlegung zur Nullstellen ermittlung benutzen oder geht das nur mit der Polynomdivision? 2x³ + 4x²+17x + 4

    Ich hoffe ich beantspruche nicht zu viel deiner Geduld und Zeit.
    Danke;-)

    • Offizieller Beitrag

    Bei gebrochen rationalen Funktionen der Form f(x) = [TEX]\frac{p(x)}{q(x)}[/TEX] sieht es so aus:

    Ist p(x) eine gerade Funktion und q(x) eine gerade Funktion, dann ist f(x) ebenfalls eine gerade Funktion.

    Ist p(x) eine ungerade Funktion und q(x) eine ungerade Funktion, dann ist f(x) eine gerade Funktion.

    Sind p(x) und q(x) unterschiedliche Funktionen (gerade / ungerade), dann ist f(x) eine ungerade Funktion.

    Deine Frage zu 1) ist mir nicht ganz klar geworden; die solltest du noch einmal präzisieren und vielleicht mit einem Beispiel verdeutlichen.

    Zu 2): Was meinst du mit "Bestimmtes beachten"? - Rechenregeln beachten!

    Zu 3) Dein Beispiel ist recht unglücklich gewählt. Bei dieser Art von Aufgaben wird man normalerweise versuchen, eine Nullstelle zu erraten. Alsdann wird man mit Hilfe der Polynomdivision die beiden anderen Nullstellen ermitteln. Wie willst du eine Linearfaktorzerlegung angeben, wenn du keine Nullstelle kennst?

    zu 1) 3x4 +9x²-162. führt man nun die substitution durch, kommt 6 und -9 raus. von diesen muss ich ja noch die Wurzel ziehen. was für nullstellen habe ich dann?? Aber was ist z.B bei diesem Beispiel : x6 -10x³+9
    nachdem ich die pq- Formel angewendet habe muss ich ja normalerweise die Wurzel ziehen, Hier auch??

    zu2 ) könntest du mir vielleicht anhand des beispieles zeigen was es zu beachten gibt? Bin nicht gut im Rechnen mit Klammern

    zu3) ok andere Frage. wie muss eine Aufgabe aussehen damit ich die Linearfaktorzerlegung durchführen kann? Bzw wie geht das überhaupt?

    Einmal editiert, zuletzt von Mathetrottel (19. Dezember 2011 um 18:16)

    • Offizieller Beitrag

    Zu 1)
    Bei der Aufgabe ist klar, dass man aus (-9) keine Wurzel ziehen kann. Folglich kommen als Lösungen (Nullstellen) nur die beiden Wurzeln aus 6 in Frage.
    Zu 2) Da brauchst du überhaupt nicht zu rechnen, sondern nur zu überlegen: Wenn x immer größer wird, und dazu noch mit einem immer größer werdenden Faktor multipliziert wird, dann strebt der Funktionswert auch zu immer größeren Werten.

    Zu 3)
    Folgende Aufgabe: f(x) = x4 - x3- 7x2 + x +6

    Wenn du bei dieser Aufgabe die Nullstellen bestimmen willst, dann musst du eine Nullstelle erraten. (Hilfe: Es muss ein Faktor von 6 sein.)

    Wenn du den gefunden hast, dann hast du einen Linearfaktor ermittelt, z. B (x - 3). Alsdann dividierst du die obige Funktion durch (x -3) [Polynomdivision].

    zu1) ok gut habe ich verstanden.Aber was ist z.B bei diesem Beispiel : x6 -10x³+9
    nachdem ich die pq- Formel angewendet habe muss ich ja normalerweise die Wurzel ziehen, Hier auch??
    zu2) nun ja das Problem ist, dass ich diese Rechenweise mit den Werten für unendlich machen muss, nur leider nicht weiß wie ich mit den Klammern umgehen soll.

    zu3) Ja dass mit der Polynomdivision habe ich verstanden, aber ich verstehe die Linearfaktorzerlegung nicht so recht. Kann man das nur machen wenn es so einen Term gibt : z.B. 0,5 ( x-3)²(x+7) nullstellen sind dann 3 und -7, oder?. Oder kann es auch sein dass man einen anderen Term hat und den erst selber so in dieser Schreibweise mit den Klammer aufschreiben muss?