Knobelaufgabe (Term)

Zitat von thecow

Hallo, ich habe eine echt schwierige (find ich zumindest) Aufgabe bekommen:
Ich probier schon länger rum, komme aber zu keinem Ergebnis

a) Max hat den Term an der Tafel falsch notiert/umgeformt. Wo liegt der Fehler? Term an der Tafel: 4a+2b = 6(a+b)
b) "4a+2b = 6(a+b) gilt zwar nicht für alle Zahlen a, b", sagt der Lehrer. "aber es gibt unendlich viele Paare von Zahlen a und b, für die du beim Einsetzen in deine Gleichung auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis erhältst!" Da Max gern knobelt hat er durch probieren tatsächlich mehrere solche Zahlenpaare (a,b) gefunden. Wie viele findest du?
c) Wenn du in b richtig gerechnet hasst, so kannst du dort keine Zahlenpaare gefunden haben bei denen a als auch b eine natürliche Zahl ist. Begründe, allgemein dass das nicht möglich ist!
d) Die folgende Gleichung 4a+2b = ab ist noch interessanter! Sie gilt nämlich für genau fünf Paare natürlicher Zahlen. Findest du sie?!

Wenn jemand eine Antwort rausbekommen hat, schreibt bitte auch einen Rechenweg oder Erklärung schreiben - Danke

Danke für alle Antworten

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Wenn du a) ausrechnest, dann erhältst du:

4a + 2b = 6a + 6b

- 2a = 4b

-a = 2b

Hier erkennst du: Wenn du für b eine natürliche Zahl einsetzt, dann erhältst du für a auf der anderen Seite ein negatives Ergebnis. Negative Zahlen gehören nicht zur Menge der natürlichen Zahlen.

Ferner ersiehst du an dem letzten Term, dass es unzählige Möglichkeiten gibt, die obige Gleichung zu verifizieren.
(Folgende Paare: b = 8 / a = - 16 oder b = 10 / a = - 20 sind beliebig fortsetzbar.)

Bei der Gleichung 4a +2b = ab ist eine Lösung sofort absehbar: a = 0 und b = 0!
Die übrigen vier sind auch nicht mehr schwierig zu ermitteln. Dazu muss man die Gleichung ein wenig verändern.
Man dividiert durch ab und erhält:

[TEX]\frac{4}{b} + \frac{2}{a} = 1[/TEX]

Jetzt kannst du ein wenig probieren und die restlichen Lösungspaare finden.

Schwierig?