Tangenten

1. offizieller Beitrag

    Hallo ;)
    Wir haben eine Mathe-Ha aufbekommen, bei der ich drei Aufgaben iwie nicht hinbekomme... Ich hoffe ihr könnt mir helfen!!

    1.) Es ist der Punkt P(-1|-1) gegeben. Von dem Punkt aus verlaufen zwei Tangenten an den Graphen der Funktion f(x)=x².
    -> Als erstes sollten wir die Koordinaten der Berührungspunkte bestimmen. Das hab ich gemacht. Die beiden Punkte heiße: P(0,35|0.13) und Q(-1,35|1,88).
    -> Dann mussten wir die Gleichung der beiden Tangenten bestimmen. Die sind y1=2x-0,47 und y2=2x-0,53.
    -> Und jetzt muss ich den Mittelpunkt der Strecke zwischen den zwei Berührungspunkten bestimmen. Und ich hab kein plan was ich da machen soll!!

    2.) An welchen Stellen a haben die Tangenten an die Graphen der Funktion f(x)=x² und g(x)=x³ den gleichen Anstieg?
    -> Im Unterricht hatte unsere Lehrerin mal gesagt, dass man die Berührungspunkte berechnen kann indem man f'(x) und g'(x) gleichsetzt. Das hab ich gemacht aber iwie kommt da was falsches raus. Also wie muss ich das richtig machen??

    3.) Gegeben sind die Funktionen f(x)=x² und g(x)=x³. Weiterhin ist ta die Tangente an den Graphen von f an der Stelle a und tb die Tangente an den Graphen von g an der Stelle b.
    a) Wählen sie a und b so, dass sich die Tangenten an der Stelle x=1 schneiden.
    b) Wählen sie a und b so, dass die beiden Tangenten parallel zueinander sind.
    -> Bei der Aufgabe hab ich noch nichmal ein Plan wie ich anfangen soll!!

    Könnt ihr mir bitte helfen?? Ist echt wichtig!!

    Vielen Dank schon mal :)

    • Offizieller Beitrag

    Die Berührungspunkte und die Tangentengleichungen der ersten Aufgabe sind schon mal falsch.

    Für die zweite Aufgabe. Deine Lehrerin hat vollkomen Recht: Wie ist deine eigene Rechnung? Stell sie mal vor!

    Zur dritten Aufgabe:


    Beide Graphen durchlaufen den Punkt P (1/1). Folglich berechnest du die Tangenten beider Funktionen für diesen Punkt. Die schneiden sich dort mit unterschiedlichem Anstieg.

    Wenn Tangenten parallel verlaufen sollen, dann haben sie die gleiche Steigung.

    1.) ok... und wie kann ich die dann richtig berechnen??

    2.) g'(x)=f'(x) => 2x=3x²
    für x hab ich raus x=2/3 und dann x in f(x) eingesetzt da kommt für y=4/9 raus.
    das hab ich im Graphik menü von meinem GTR anzeigen lassen und der sagt das das falsch ist.

    3.)
    a) ok.. laut meiner Berechnung sind die beiden Tangentengleichungen : yf=2x-1 und yg=3x-1.Und wie kann ich jetzt a und b bestimmen?? 8|
    b) aber wie bekomm ich da die Tangentengleichungen bzw. die Punkte a und b raus, wenn ich den Anstieg nich kenn??

    • Offizieller Beitrag

    Bei der Aufgabe 2) löst du eine quadratische Gleichung. Da erhältst du zwei Lösungen. Eine hast du berechnet: x1= 2/3. Die zweit Lösung ist ???
    Dein berechneter Wert ist richtig. Die Probe ergibt:

    [TEX]f'(x) = 2x[/TEX]
    [TEX]x_1 = \frac{2}{3}[/TEX]
    [TEX]f'(\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}[/TEX]

    [TEX]g'(x) = 3*x^2[/TEX]
    [TEX]g'(\frac{2}{3}) = 3*\frac{4}{9} = \frac{4}{3}[/TEX]

    Die Steigungen sind also gleich. / Es gibt allerdings noch eine zweite Stelle, an der die Steigungen der Tangenten gleich sind.

    • Offizieller Beitrag

    Ein Beispiel für parallel verlaufende Tangenten hast du bereits berechnet. An der Stelle [TEX]x_1 = \frac{2}{3}[/TEX] haben beide Funktionen die gleiche Steigung; folglich verlaufen dort ihre Tangenten parallel. Du berechnest nun die Funktionswerte an der Stelle [TEX]x_1[/TEX] für beide Funktionsgleichungen und erhältst die Berührungspunkte der beiden Tangenenten. Mit Hilfe der allgemeinen Geradengleichung kannst du dann die Tangentengleichung erstellen. (Es ist aber auch möglich, parallel verlaufende Tangenten mit anderen positiven Steigungen zu ermitteln.)

    danke... damit hab ich jetzt die 2. aufgabe gelöst :)

    aber zu aufgabe 3 hab ich nochmal paar fragen.
    zu a) also ich hab jetzt die Tangentengleichungen. aber ich soll ja die beiden Punkte a und b bestimmen... woher bekomm ich die??
    zu b) das versteh ich nicht... wenn ich 2/3 in die beiden ableitungsfunktionen einsetze kommt bei beiden als y-Wert 1,3 raus... das heißt die beiden Tangenten hätten den gleichen x und y-Wert und den gleichen Anstieg und folglich würde n auch der selbe wert sein... das heißt es gibt nur eine tangente... oder seh ich das falsch??

    und auch nochmal zu 1.:
    du hast gesagt ich hätte die Berührungspunkte und die Tangentengleichungen falsch berechnet... wie kann ich die denn richtig berechnen??

    • Offizieller Beitrag

    Der x-Wert ist für beide Funktionsgleichungen x = 2/3. Du musst nun die Berührungspunkte errechnen:

    [TEX]f(x) = x^2[/TEX]---> [TEX]f(\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}[/TEX] Der Berühungspunkt der Tangente mit der Steigung [TEX]\frac{4}{3}[/TEX] ist

    P (2/3 I 4/9)

    Für [TEX]f(x) = x^3[/TEX] ergibt sich: [TEX]f(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}[/TEX] Der Berühungspunkt liegt hier bei Q (2/3 I 8/27)

    Damit kannst du die Tangentengleichungen erstellen. Es gibt zwei verschiedene.

    • Offizieller Beitrag

    Bei der Aufgabe 1 nennst du den Berührungspunkt der Tangente T [TEX](x_t / (x_t)^2)[/TEX].

    Wenn du zwei Punkte kennst, T und den Punkt P (-1/-1), dann kannst du aus den Koordinaten die Steigung der Tangente berechnen:

    [TEX]m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}[/TEX]

    [TEX]x_2 =x_t[/TEX] und [TEX]y_2 = (x_t)^2[/TEX]

    [TEX]x_1 = -1[/TEX] und [TEX]y_1 = -1[/TEX]

    [TEX]m = \frac{(x_t)^2 + 1}{x_t +1}[/TEX]

    Ferner ist die Steigung der Tangente im Berührungspunk [TEX]m = f'(x_t) = 2*x_t[/TEX]

    Wenn du diese beiden Gleichungen gleichsetzt, bekommst du eine quadratische Gleichung. Ihre Lösung (mit der positiven Wurzel) ist der x-Wert des Berühungspunktes der Tangente an die Parabel. Nun dürfte es einfach sein, die Tangentengleichung aufzustellen.

    Dieselbe Prozedur musst du allerding noch einmal durchführen, für die Tangente an den zweiten Parabelast.

    Wenn du die beiden Berührungspunkte kennst, kannst du mit Hilfe des Pythag. Lehrsatzes den Mittelpunkt ihrer Verbindungslinie berechnen.

    wie kann ich aber jetzt den Mittelpunkt berechnen wenn das kein rechtwinkliges dreieck ist? weil ich hab ja auch keine Höhe gegeben mit der ich ein rechtwinkliges dreieck bekommen könnte!! oder seh ich das falsch??

    Zitat von Olivius

    Der x-Wert ist für beide Funktionsgleichungen x = 2/3. Du musst nun die Berührungspunkte errechnen:

    [TEX]f(x) = x^2[/TEX]---> [TEX]f(\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}[/TEX] Der Berühungspunkt der Tangente mit der Steigung [TEX]\frac{4}{3}[/TEX] ist

    P (2/3 I 4/9)

    Für [TEX]f(x) = x^3[/TEX] ergibt sich: [TEX]f(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}[/TEX] Der Berühungspunkt liegt hier bei Q (2/3 I 8/27)

    Damit kannst du die Tangentengleichungen erstellen. Es gibt zwei verschiedene.

    für die parallelen Tangenten hab ich die beiden Gleichungen y1=1,3x-4/9 und y2=1,3x-0,59 raus. stimmt das??

    ok gut... danke ;)

    Zitat von MoruTangwe

    wie kann ich aber jetzt den Mittelpunkt berechnen wenn das kein rechtwinkliges dreieck ist? weil ich hab ja auch keine Höhe gegeben mit der ich ein rechtwinkliges dreieck bekommen könnte!! oder seh ich das falsch??

    und was ist mit der Aufgabe?? die versteh ich immer noch nicht!! :-|