ich verstehe eine aufgabe nicht. sie lautet:
bestimmen sie den vektor, der die gleiche richtung wie der vektor a, aber die länge 1 hat.
a) a=(2,-1,2) b) a=(5,3,-4) c) a=(9,0,5) d) a=(1,0,1)
wie bekomme ich einen vektor mit der länge 1 raus?
Punkte und Vektoren im Raum
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Unregistriert -
17. November 2011 um 14:24
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Die Formel für den Betrag eines dreidimensionalen Vektors [tex]\vec{v}=\left(\begin{array}{c}
v_1 \\
v_2\\
v_3\\
\end{array}\right)[/tex] ist dir ja sicher bekannt, ist (Gleichung 1) [tex]|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/tex]Der Vektor hat genau dann die Länge 1, wenn bei Gleichung 1 der Wert eben genau 1 ist.
Angenommen bei dem Vektor [tex]v[/tex] kommst du auf eine Länge [tex]n[/tex] die nicht gleich 1 ist.
[tex]n=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/tex]
Ich möchte nun, dass auf der linken Seite eine 1 steht. Das kann man durch Division durch n erreichen:
[tex]1=\frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}{n}[/tex]
Das kann man auch anders schreiben:
[tex]1=\frac{1}{n}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/tex]
Das [tex]\frac{1}{n} ist ein konstanter Faktor, das kann man also auch quadriert in die Wurzel ziehen:
[tex]=\sqrt{\frac{1}{n^2}(v_1^2+v_2^2+v_3^2)}[/tex]
Die Klammer in der Wurzel kann man noch ausmultiplizieren:
[tex]=\sqrt{\frac{v_1^2}{n^2}+\frac{v_2^2}{n^2}+\frac{v_3^2}{n^2}}[/tex]Das entspricht aber genau der Betragsformel für einen Vektor, bei dem jedes Element durch den Betrag des ursprünglichen Vektors dividiert wurde.
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Einfach gesagt: Du teilst jede Koordinate durch die Länge (den Betrag) des Vektors, z.B.
a) [TEX]\sqrt{2² + (-1)² + 2²}[/TEX] = √9 = 3 → normierter Vektor a = ( 2/3 , -1/3 , 2/3 )