Trinome faktoriesieren

1. offizieller Beitrag

    Hallo Leute!

    Wie faktorisiere ich einen Term wie 7x² + 9x + 4.

    Ich habe hier eine Reihe Aufgaben und da stehen Quadratische Gleichungen/Trinome, die man faktorisieren soll, sodass dann (x + irgendwas)(x + irgendwas) da steht, oder halt minus, je nachdem...

    Frage: Geht sowas nur bei bestimmten quadr. Gleichungen?

    Es gibt da ja diese Regel, dass man zwei Zahlen suchen soll, die multipliziert a ergeben (also 7) und dann zwei weitere, die multipliziert c ergeben (also 4)... aber gilt das für alle solche Ausdrücke?

    Wie lautet denn ganz allgemein die Regel für sowas, falls es da eine gibt?

    • Offizieller Beitrag

    Hi,
    um einen beliebigen quadratischen Term zu faktorisieren, gehe wie folgt vor:
    1. Löse die Gleichung "Term = 0" und erhalte die Lösungen x1 und x2.
    2. Der Term lässt sich nun durch (x1 - x) (x2 - x) darstellen
    3. Zur Überprüfung könnte man das Ergebnis ausmultiplizieren und mit dem Eingangsterm vergleichen...

    LG nif7

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von nif7

    Hi,
    um einen beliebigen quadratischen Term zu faktorisieren, gehe wie folgt vor:
    1. Löse die Gleichung "Term = 0" und erhalte die Lösungen x1 und x2.
    2. Der Term lässt sich nun durch (x1 - x) (x2 - x) darstellen
    3. Zur Überprüfung könnte man das Ergebnis ausmultiplizieren und mit dem Eingangsterm vergleichen...

    LG nif7

    Aber was ist zu tun, wenn der Term keine Nullstellen hat, wie der oben angeführte?

    Hallo!

    Danke erstmal!!

    Aber ich möchte ohne diesen Zwischenschritt auf das Ergebnis kommen. Also ohne die Gleichung lösen zu müssen.

    Und wenn ich die Gleichung löse, dann habe ich ja die Nullstellen bereits. Dann bringt mit die faktorisierte Form eh nichts mehr.

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Unregistriert

    Hallo!

    Danke erstmal!!

    Aber ich möchte ohne diesen Zwischenschritt auf das Ergebnis kommen. Also ohne die Gleichung lösen zu müssen.

    Und wenn ich die Gleichung löse, dann habe ich ja die Nullstellen bereits. Dann bringt mit die faktorisierte Form eh nichts mehr.

    Vor der Linearfaktorenzerlegung benötigst du doch die Nullstellen.

    Eine weitere Möglichkeit ist, sich Folgendes zu Nutze zu machen:

    [TEX](x + a)*(x + b) = x^ +(a+b) + a\cdot b[/TEX]

    Das konstante Glied ist immer das Produkt von a und b. Das lineare Glied die Summe aus a und b.

    Beispiel: [TEX]x^2 +10x +21[/TEX] soll in Linearfaktoren zerlegt werden.
    21 = 3 *7 und
    10 = 3 + 7
    Folglich: (x + 3) * (x + 7)

    Okay, danke, das hilft mir schon mal mehr.

    ABer was ich nicht verstehe: Um die Linearfaktoren zu erhalten, brauche ich die Nulstellen. Und die Linearfaktorzerlegung hilft mir dann, die Nullstellen besser ablesen zu können. Das kapiere ich nicht...

    Zitat von Unregistriert

    ABer was ich nicht verstehe: Um die Linearfaktoren zu erhalten, brauche ich die Nulstellen. Und die Linearfaktorzerlegung hilft mir dann, die Nullstellen besser ablesen zu können. Das kapiere ich nicht...


    Allgemein brauchst du die Nullstellen für die Linearfaktoren.

    In Ausnahmefällen kannst du aber aus der Gleichung über den Satz von Vieta (q=x1∙x2 , p=x1+x2) leicht die Linearfaktoren "erraten", so dass du für die Nullstellen nicht die p-q-Formel (oder a-b-c-Formel) anwenden musst, sondern sie einfach ablesen kannst.

    Wenn ein Faktor vor dem x² steht, klammert man den zuerst aus und guckt dann, ob man's einfach zerlegen kann. Das geht manchmal auch mit Brüchen, bei deinem Beispiel aber nicht:
    7x² + 9x + 4 = 7∙(x² + 9/7 x + 4/7) → [TEX]\frac{4}{7} = 4 \cdot \frac{1}{7} = 2 \cdot \frac{2}{7} = 1 \cdot \frac{4}{7} ; 1 + \frac{4}{7} = \frac{11}{7}[/TEX]
    Hier geht's:
    9x² + 15x - 6 = 9∙(x² + 5/3 - 2/3) → [TEX]\frac{-2}{3} = -2 \cdot \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{-1}{3} ; 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}[/TEX]
    = 9∙(x + 2)∙(x – 1/3)

    Okay, danke!!

    Aber wenn ich die Linearfaktordarstellung dann habe, was bringt mir das? Die Nullstellen habe ich ja dann meistens sowieso! Und die pq-Formel ist ja eh immer einfacher als etwaiges komisches faktorisieren...

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Unregistriert

    Okay, danke!!

    Aber wenn ich die Linearfaktordarstellung dann habe, was bringt mir das? Die Nullstellen habe ich ja dann meistens sowieso! Und die pq-Formel ist ja eh immer einfacher als etwaiges komisches faktorisieren...

    Deinen Einwand verstehe ich nicht:
    Wenn du die Linearfaktoren hast, kennst du natürlich die Nullstellen, und umgekehrt kannst du mit Hilfe der Nullstellen die Linearfaktorendarstellung aufstellen. Aber beides fällt doch nicht vom Himmel, denn im Normalfall steht am Anfang eine Funktion, und die Aufgabe war doch "Trinome faktorisieren".
    Wenn die Funktionsgleichung von höherem Grad als 2 ist, hilft dir die pq-Formel auch nicht mehr.

    Einfaches Beispiel: 0 = x² + 7x + 10

    Natürlich kannst du jetzt mit der p-q-Formel draufhauen und wirst, wenn du's richtig machst, auch das richtige Ergebnis kriegen.
    [TEX]x_{1;2} = -\frac{7}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 10} = -3,5 \pm \sqrt{2,25}[/TEX]
    [TEX]x_1 = -3,5 + 1,5 = -2[/TEX]
    [TEX]x_2 = -3,5 - 1,5 = -5[/TEX]

    Wenn du aber siehst, dass 10 = 5∙2 und 7 = 5+2 , dann kannst du sofort schreiben:
    0 = x² + 7x + 10 = (x + 5)∙(x + 2)
    und liest daraus die Nullstellen –5 und –2 ab.

    Aaaah, danke Dörrby! Es bietet sich einfach nur manchmal die Linearfaktorschreibung an, weil man sich dann das rechnen erspart... okay, jezz habschs!