Partielle Integration

Zitat von Herbstlaub

Halli hallo, ich schreibe morgen mein Mathevorabitur und hab noch ein kleines Problemchen:

Die Funktion f(x) = sin(x)² ist gegeben und nun soll man verschiedene Sachen untersuchen, was mir eigentlich auch keine Probleme bereitet hat, außer 2 Punkte :

- Die Nullstellen der Funktion kann man mit einer Rechenregel bestimmen. Leiten Sie diese her.

Hier habe ich noch nicht mal einen Ansatz

-Bestimme die Rechenregel für Hoch und Tiefpunkte.

Also ich hab die Funktion nach der Kettenregel auseinandergefummelt und dann =0 gesetzt, allerdings hab ich keine Ahnung ob das richtig ist bzw. wie man weiter machen muss

f(x) = sin(x)² Kettenregel: u(v(x)) = u'(v(x))* v'(x)

also: 2(sin(x))*cos(x) = 0

Ich wäre dankbar für jegliche Hilfe, da es bestimmt morgen in der Klausur dran kommt.

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Hallo Herbstlaub,

die von dir mitgeteilte erste Ableitung passt nicht zu deiner Funktion. Hier gibt es doch den schönen TEX-Editor: Warum wird der nicht genutzt - und dadurch kommt es immer wieder zu Missverständnissen.

Wie lautet nun deine Funktion:

a) [TEX]f(x) = sin(x^2) = sin(x*x)[/TEX] oder

b) [TEX]f(x) = sin^2(x) = (sin(x))^2 [/TEX]???

Zitat von Herbstlaub

Die Funktion ist [TEX]f(x) = sin^2(x)[/TEX]

meine Ableitung passt doch aber
u= [TEX]x^2[/TEX] also u'=[TEX]2x[/TEX]
v= [TEX]sin(x)[/TEX] also v'=[TEX]cos(x)[/TEX]
Zusammengesetzt kommt dann doch meine Ableitung raus?

Wo bleibt dass "2x"?
Schau dir doch mal deine Ableitung an!
Da steht

Zitat

also: 2(sin(x))*cos(x) = 0

f(x) = [TEX]sin^2(x)[/TEX] und nicht [TEX]f(x) = sin(x)^2[/TEX] und die erste Funktion meinen.
(Mit war nicht klar, welche Funktion tatsächlich gemeint war; vermutlich habe ich die falsche Funktion auf die korrekte Ableitung bezogen - oder umgekehrt.)

Zitat von Herbstlaub

Die Funktion ist [TEX]f(x) = sin^2(x)[/TEX]

meine Ableitung passt doch aber
u= [TEX]x^2[/TEX] also u'=[TEX]2x[/TEX]
v= [TEX]sin(x)[/TEX] also v'=[TEX]cos(x)[/TEX]
Zusammengesetzt kommt dann doch meine Ableitung raus?

Um das jetzt zu klären:

Die Funktion lautet: [TEX]f(x) = sin^2(x)[/TEX]
Da gibt es zwei Möglichkeiten, die erste Ableitung zu bilden.

1)[TEX]f(x) = sin^2(x)[/TEX]
[TEX]f'(x) = 2*sin (x)*cos(x)[/TEX]

Oder

2) [TEX]f(x) = sin^2(x) = sin(x)*sin(x)[/TEX]---> Anwendung der Produktregel
[TEX]f'(x) =v*u' + u*v'[/TEX]
[TEX]f'(x) = sin(x)*cos(x) + sin(x)*cos(x) = 2*sin(x)*cos(x)[/TEX]

Hinsichtlich der Nullstellen hat Sobber die Lösung bereits mitgeteilt.

Bezüglich der Extrema hast du den richtigen Ansatz gefunden: Die erste Ableitng bilden und sie Null setzen.

[TEX]f'(x) = 2*sin(x)*cos(x) = 0[/TEX]

Ein Produkt wird dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird.
Damit liegen bei allen Nullstellen gleichzeitig Tiefpunkte vor, und jeweils zwischen zwei Tiefpunkten liegt ein Hochpunkt.