Rechteck in Parabelsegment - Extremwertaufgabe

    Die Gerade g: y = 6 schneidet von der Parabel x² = 16y ein Segment ab. In dieses Segment ist ein Rechteck so einzuschreiben, dass zwei seiner Eckpunkte auf g liegen. Wie lang sind die Rechteckseiten zu wählen, damit sein Flächeninhalt möglichst groß wird?

    Bitte um Hilfe!

    Hallo,

    mach dir zunächst mal ne Skizze. und zeichne ein Rechteck gemäß Forderung ein, z. B. an der Stelle x=x0.
    a sei die Seite parallel zur x- Achse, b die Seite parallel zur Y-Achse.

    Nun überlege mal, wie die Seiten a und b als Funktionen von x0 berechnet werden können....

    a(x0) =2*xo (Da die Parabel ja symmetrisch ist)
    b(x0)= 6 - f(xo)= 6 - hoch2 /16 (kannst ja die Gleichung x hoch 2 = 16 y nach y auflösen also y= Xhoch2 / 16)

    Dann weißt du, dass die Fläche des Rechtecks gleich dem Produkt aus den Seitenlängen ist, also F(xo) = a(xo) * b(x0)

    Bisher hast du den Spezialfall x=x0 betrachtet.

    Nun verallgemeinerst du deine Überlegung nach x und musst die Seitenlängen a und b allgemein als Funktion von x ausdrücken.
    (also statt a(x0) nur noch a (x) schreiben...


    also hast du als Gleichung für die Fläche:

    Fläche (x) = a(x)*b(x)= 2*x * (6-xhoch2/16) =...

    Davon musst du nun die 1. und 2. Ableitung bilden
    1: Ableitung gleich Null heißt: Tangentenanstieg = Null (Extremwert oder Sattelpunkt)

    2. Ableitung negativ oder positiv (ungleich null) heißt: Maximum/ Minimum (kein Sattelpunkt)

    kleiner Null bedeutet Maximum
    größer Null bedeutet Minimum


    So, hoffe das hilft dir.

    Gruß Niko