Einmaliger Kapitalbetrag nach n auflösen

1. offizieller Beitrag

    Guten Tag Community,

    Also ich bin komplett am verzweifeln. Es geht um die Rentenumwandlung in dieser Aufgabe:

    Ein Kaufmann verfügt am Anfang eines Jahres aus einer Erbschaft über einen Betrag von 30.000EUR. Er legt das Geld zu 5% Zinsen an. Wie viel Jahre kann er jährlich vorschüssig 3.700 EUR aus dem Guthaben entnehmen, bis das Kapital vollständig aufgebraucht ist?
    Lösung soll lauten: 10 Jahre

    Ich wollte es nach dieser Formel lösen:

    G_n= K_0 * q^n - r * q (q^n-1)/(q-1)
    G_n= 30.000 * 1,05^n - 3.700 * 1,05 (1,05^n-1)/(0,05)
    G_n= 30.000 * 1,05^n - 3885 (1,05^n-1)/ (0,05) |/0,05
    G_n= 30.000 * 1,05^n - 77700 (1,05^n-1) |Klammer auflösen
    G_n= 30.000 * 1,05^n - 77700 * 1,05^n - 77700 |+77700
    77700= 30.000 * 1,05^n - 77700 * 1,05^n |Binomische Formel
    77700= (30.000+77700) * 1,05^n
    77700= 107700 * 1,05^n |/107700
    0,7214 = 1,05^n |Logarithmus
    log 0,7214 = log 1,05 * n

    log 0,7214
    ------------
    log 1,05

    = 6,6... ~ 7 Jahre

    Was hab ich falsch gemacht? Ich schreibe am Dienstag darüber ne Klausur und kann das überhaupt nicht.. :(
    Hat jemand ein Lösungsvorschlag für mich? :(

    • Offizieller Beitrag

    Ein grober Fehler liegt in der Auflösung der Klammer! (n-1) ist der Exponent zu 1,05; (-1) ist hier kein Summand, der mit dem Faktor 77700 multipliziert werden darf.

    • Offizieller Beitrag

    Abgesehen von dem oben g. groben Rechenfehler hast du eine falsche Formel benutzt.

    Für die Berechnung der Laufzeit einer vorschüssigen Rente solltest du folgende Formel verwenden:

    n = Anzahl der Jahre (Zeit); b = Barwert (Kapital zu Beginn); r = Rentenbetrag; p = Zinsfuß;

    [TEX]q = (1 + \frac{p}{100})[/TEX]

    Die Berechnungsformel lautet:

    [TEX]n = \frac{ln\frac{r}{qr-b(q-1)}}{lnq} + 1[/TEX]

    Wenn du in diese Formel die entsprechenden Werte einsetzt, erhältst du das gewünschte Ergebnis: 10Jahre

    Die benutzte Formel ist richtig, aber man muss sie noch so umformen, dass das n nur einmal vorkommt, damit man danach auflösen kann:
    [TEX]K_0 q^n - r q \frac{q^n-1}{q-1} = K_0 q^n - \frac{rq}{q-1} (q^n-1) = (K_0 - \frac{rq}{q-1}) q^n + \frac{rq}{q-1}[/TEX]
    Mit den gegebenen Zahlen lautet demnach die zu lösende Gleichung:
    –47700 ∙ 1,05^n + 77700 = 0 ,
    und da kommt ziemlich genau 10 raus.

    Bei deiner Formel hatte ich so den Eindruck, dass sie "vom Himmel gefallen" ist.
    In Mathe-Arbeiten darf man ja nur Formeln aus dem Unterricht oder aus diesen hergeleitete Formeln benutzen, mir fehlte also die Herleitung, bei der ich wahrscheinlich auf halber Strecke aufgehört und Zahlen eingesetzt habe.

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Dörrby

    Bei deiner Formel hatte ich so den Eindruck, dass sie "vom Himmel gefallen" ist.

    In Mathe-Arbeiten darf man ja nur Formeln aus dem Unterricht oder aus diesen hergeleitete Formeln benutzen, mir fehlte also die Herleitung, bei der ich wahrscheinlich auf halber Strecke aufgehört und Zahlen eingesetzt habe.


    Deine Antwort verwunder mich etwas, denn dein ursprünglicher Einwand bezog sich auf etwas anderes - aber egal:

    Zitat

    "Die benutzte Formel ist richtig, aber man muss sie noch so umformen, dass das n nur einmal vorkommt, damit man danach auflösen kann:"

    Nun, Formeln fallen selten vom Himmel; wenn man unsicher ist, sollte man - ganz legitim - eine Formelsammlung benutzen.

    In diesem Falle ging es um Hausaufgaben, nicht um eine Mathematikarbeit. Da hätte ich dem Fragesteller die Benutzung einer Formelsammlung angeraten, statt mit einer falschen Formel zu arbeiten.