quadratische Gleichungen

1. offizieller Beitrag

    Hallo Zusammen :)

    Ich habe morgen eine Mathematikprüfung und mein Lehrer hat mir folgende Aufgaben mitgegeben...

    1. Bestimme die Lösungen und v so, dass sich die Lösungen um 3 unterscheiden.
    --> x^2+vx+88=0

    Ich hätte jetzt eine 2. Gleichung gemacht (x=v+3 oder umgekehrt) und die beiden gleichungen nach x bzw v aufgelöst... was mache ich falsch?!

    die 2. ist ähnlich... Bestimme die Lösungen und w so, dass die eine Lösung doppelt so gross ist wie die andere.
    --> x^2-5x+w=0

    könnt ihr mir helfen? :)
    wäre sehr dankbar! ;D

    • Offizieller Beitrag

    Warum so ungeduldig?

    Der Lösungsansatz der ersten Aufgabe ist ein wenig anders als du ihn vorgeschlagen hast:

    [TEX]x_1=x_2 + 3[/TEX]

    [TEX]x_1 = -\frac{v}{2}+\sqrt{\frac{v^2}{4}-88}[/TEX]

    [TEX]x_2 =-\frac{v}{2}-\sqrt{\frac{v^2}{4}-88}[/TEX]

    [TEX] -\frac{v}{2}+\sqrt{\frac{v^2}{4}-88} =-\frac{v}{2}-\sqrt{\frac{v^2}{4}-88} + 3[/TEX]

    (Die "3" gehört nicht mehr unter das Wurzelzeichen!)

    Diese Gleichung ist nach v aufzulösen.

    Ergebnis: v = 19

    Lösungen der Gleichung: [TEX]x_1 = - 8[/TEX] und [TEX]x_2 = - 11[/TEX]

    • Offizieller Beitrag

    Der Lösungsansatz der zweiten Aufgabe ist ähnlich:

    [TEX]x_1 = 2 x_2[/TEX]

    [TEX]x_1 = 2,5 +\sqrt{6,25 -w}[/TEX]

    [TEX]x_2 = 2,5 - \sqrt{6,25 -w}[/TEX]

    [TEX]2,5 +\sqrt{6,25 -w} = 5 - 2\sqrt{6,25 - w}[/TEX]

    [TEX]3\sqrt{6,25 - w} = 2,5[/TEX]

    Diese Gleichung ist nach w aufzulösen.

    w = [TEX]\frac{50}{9} = 5,55555....[/TEX]

    zur ersten Aufgabe:
    Nach Vieta ist x1+x2=-p und x1*x2=q
    hiermit ergibt sich:
    2*x1+3=-v und x1(x1+3)=88

    Lösungen dafür sind:
    x1= -11, v = 19 oder x1 = 8, v = -19

    Somit also zwei mögliche quadratische Gleichungen.

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Hein

    zur ersten Aufgabe:
    Nach Vieta ist x1+x2=-p und x1*x2=q
    hiermit ergibt sich:
    2*x1+3=-v und x1(x1+3)=88

    Lösungen dafür sind:
    x1= -11, v = 19 oder x1 = 8, v = -19

    Somit also zwei mögliche quadratische Gleichungen.

    Das ist natürlich die elegantere Lösung. (Vermutlich wurde der Satz des Vieta im Unterricht behandelt und sollte hier angewandt werden.)
    Bei meinem obigen (umständlichen Ansatz) - nur als Ergänzung - gibt es ebenfalls die Lösung [TEX]x_2 = 19[/TEX], denn [TEX]\sqrt{361}[/TEX] hat zwei Lösungen. (Die zweite ist von mir unbeabsichtig unterschlagen worden.)

    Nachtrag

    Damit ergibt sich natürlich auch für die zweite Aufgabe ein viel eleganterer Ansatz über den Satz des Vieta.

    [TEX]2x_1 = x_2[/TEX]

    [TEX]w = x_1 *x_2[/TEX]

    [TEX]w = 2x_1^2[/TEX]

    [TEX]-5 = x_1+x_2[/TEX]

    [TEX]-5 = 3x_1[/TEX]

    [TEX]x_1 = -\frac{5}{3}[/TEX]

    [TEX]w = 2 *\frac{25}{9} = \frac{50}{9}[/TEX]

    Besten Dank euch 2 für eure Ausführlichen Antworten!!
    Habe heute die Prüfung geschrieben... es kam eine Aufgabe, bei welcher ich den Satz von Vieta anwenden musste... :D habt mir echt geholfen! Danke! :)
    lg und bis zum nächsten mal :D