Extremstellenberechnung (lokales Minimum/Maximum)

    Tach zusammen.
    Ich schreibe nächste Woche eine Matheklausur und u.a muss die Extremstellenberechnung gekonnt sein. Nur leider bin ich mir nicht sicher wie man das lokale Minimum/Maximum und Hoch und Tiefpunkte bestimmt.
    Es wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob ich es in der folgenden Aufgabe richtig gemacht habe.
    f(x)=x³-4x²+x+6
    =>f'(x)=3x²-8x+1
    Nullstellen der 1. Ableitung (sind übrigens richtig :lol:)
    x=2,52 x=0,14

    f''(x)=6x-8
    f''(2,52)=7,12 (lok. Min.?)
    f''(0,14)=-7,16 (lok. Max.?)

    Hoch/Tiefpunkt
    f(2,52)=-0,88 T(2,52/-0,88) ????
    f(0,14)=6,06 H(0,14/6,06) ?????

    Ich habe echt keinen Plan wie man das berechnet, hab einfach von einer scheinbar richtigen Musteraufgabe (vom Klassenprimus abgeschrieben :lol:) das Prinzip angewendet.
    Würde mich freuen wenn ihr schnell (und gut) antworten könntet. :smile:

    Die Rechnung ist richtig.

    Zur Erklärung:
    Die 1. Ableitung gibt dir die Steigung des Funktionsgraphen an der jeweils eingesetzten x-Stelle an.
    1. Ableitung = 0 (also: Steigung 0) bedeutet, dass der Graph an der Stelle waagrecht verläuft, was meistens ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
    Um sicher zu gehen, bildet man die 2. Ableitung.

    Die 2. Ableitung ist ein Maß für die Krümmung des Funktionsgraphen.
    f''(x)<0 bedeutet Rechtskrümmung (liegt bei einem lokalen Maximum vor),
    f''(x)>0 bedeutet Linkskrümmung (liegt bei einem lokalen Minimum vor).
    Bei f''(x)=0 kannst du keine Aussage treffen. Es könnte dann ein lokales Minimum/Maximum oder ein Sattelpunkt sein.

    Um die y-Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen, musst du natürlich die x-Werte, die du bei f'(x)=0 rausbekommen hast, in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen (nicht in irgendeine Ableitung), denn y=f(x).

    @ franz
    An der Stelle kommen wir wieder zurück zu deinem Tipp:

    Zitat von franz

    (Übrigens macht sich eine Funktionsdarstellung hierbei ganz gut.)


    Ist mit Sicherheit einfacher als weitere Ableitungen zu berechnen.

    Nunja, x^3 oder x^4 sollten bei den Extrema noch zu schaffen sein. :)

    Worum es mir geht: Den Schülern werden scheinbar nur noch mundgerechte Aufgaben serviert. Langweiliges, demotivierendes und realitätsfernes Abspulen von Kochrezepten.
    Schöne Feiertage noch!