Funktionsterm bestimmen

  • heey ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:

    Geben Sie zu dem angegebenen Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades den Funktionsterm an.
    P1 (-2/0)
    P2 (-1/2)
    P3 (0/0)
    P4 (1/0)

    Hab echt gaaar keinen Plan wie ich das anstellen soll. Wäre echt voll nett, wenn mir das jemand so Schrittweise erklären könnte. Ist echt wichtig...
    Danke im vorraus! :)

  • Egal welchen Grad die Funktion hat, gemeinsam ist immer, dass ein Punkt immer x- und y-Koordinate hat, z.B. bei P1 ist x=–2 und y=0.
    Das brauchst du, um es in die jeweilige allgemeine Gleichung einzusetzen. Bei einer Funktion dritten Grades ist die allgemeine Gleichung y = ax³ + bx² + cx + d . Hier setzt du alle 4 Punkte ein und bekommst so ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten (a,b,c,d), die du raus kriegen musst.
    0 = a∙(–2)³ + b∙(–2)² + c∙(–2) + d = –8a +4b –2c +d
    2 = a∙(–1)³ + b∙(–1)² + c∙(–1) + d = –a + b – c +d
    0 = a∙0³ + b∙0² + c∙0 + d = d -> d=0
    0 = a∙1³ + b∙1² + c∙1 + d = a +b +c +d

    Das ist die allgemeine Lösungsmethode. Ich sehe aber gerade, dass alle drei Nullstellen gegeben sind. Du kannst also die 3 Linearfaktoren multiplizieren und brauchst dann nur noch den Faktor a auszurechnen.
    Bsp. P1: x = –2 -> Linearfaktor (x+2)
    Also: y = a∙(x+2)∙x∙(x–1)
    P2 einsetzen: 2 = a∙(–1+2)∙(–1)∙(–1–1) = a∙1∙(–1)∙(–2) = 2a -> a=1
    y = (x+2)∙x∙(x–1) = x³ + x² –2x