Taylorpolynome - Uni

    Hallo,

    ich hätte mal eine Frage zu einer Aufgabe, erstmal die Aufgabenstellung:

    a.) Erläutern Sie die Bedeutung der Taylorpolynome nullten bis dritten Grades anhand der Position eines bewegten Objektes in Abhängigkeit von der Zeit.

    b.) Ermitteln Sie für den natürlichen Logarithmus ln(x) das quadratische Taylorpolynom an der Stelle x(0)=1 , bestimmen sie damit einen Näherungswert für ln(1,1) und schätzen Sie den dabei gemachten Fehler mithilfe des Lagrangschen Restgliedes ab.

    Hab mir näturlich auch schon paar Gedanken gemacht. Zu a.) dachte ich mir das das Taylorpolynom 0ten Grades ja die Ort-Zeit Funktion sein könnte, das 1te TP die Geschwindigkeit und das 2te die Beschleunigung, aber was wäre dann das 3te TP? Da ja eigentlich mit dem Taylorpolynom eine Ableitung gesucht wird. Zu b.) habe ich leider keinen Lösungsansatz gefunden...

    Würde mich freuen wenn einer von euch sich die Zeit nehmen würde mir kurz zu helfen ;) müsste das nämlich am Freitag erklären.

    Danke schonmal für eure Mühen.

    LG Regina

    a) Wenn die Ausgangsfunktion eine Weg-Zeit-Funktion ist, dann ist die erst Ableitung die Geschwindigkeit und die zweite Ableitung die Beschleunigung. Die Tailorpolynome können dem also nicht entsprechen, denn ein Taylorpolynom von f(x) ist eine Näherung an f(x) und nicht an dessen Ableitungen. Nimmt man die Entwicklungsstelle a an, dann ist das Tailorpolynom nullten Grades die Ausgangsposition, das Taylorpolynom ersten Grades beschreibt den zurückgelegten Weg bei gleichbleibender Geschwindigkeit, zweiten Grades wie sich dieser Weg durch die Beschleunigung ändert, dritten Grades der Weg bei linearer Änderung der Beschleunigung etc.

    b) Die Formel für die Entwicklung eines Taylorpolynoms ist [tex]\sum\limits^n_{k=0}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-a)^k=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{6}(x-a)^3\ldots[/tex]
    f(a), f'(a), f''(a), f'''(a) usw. sind Konstanten, die man für die Entwicklungsstelle Berechnen kann.

    Du musst also zunächst eine Entwicklungsstelle festlegen. Nehmen wir zum Beispiel die 0 als Entwicklungsstelle an, wie es in realen Anwendungen oft gemacht wird, dann vereinfacht sich das Taylorpolynom zu [tex]\sum\limits^n_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)}{2}\cdot x^2+\frac{f'''(0)}{6}\cdot x^3\ldots[/tex]
    Du musst nun im Prinzip nur noch die Werte für die Ableitungen an der Entwicklungstelle einsetzen.

    Die Formeln für die Restglieder hab ich jetzt nicht im Kopf.

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