Beschleunigungsgleichnung

1. offizieller Beitrag

    Es geht darum die Bewegungsgleichung aufzustellen. Bewegungsgleichung heißt ich gebe den Ort [TEX]\vec r[/TEX] als Funktion der Zeit an, also ein [TEX]\vec r(t)[/TEX]. Der Vektor r zeigt vom Ursprung auf den Ball und hat hier zwei Komponenten, eine in x Richtung und eine in y Richtung. Die beiden sind unanbhängig von einander und können getrennt behandelt werden.

    Mit [;\vec{r}(t);] würde ich eher die Bahnkurve des Körpers bezeichnen; das Ergebnis der Bewegungsgleichung gewissermaßen. Als Bewegungsgleichungen bezeichnet man (für diese Situation) die Beschleunigung in x- und y-Richtung. [Differentialgleichungen für x(t) und y(t), falls bekannt.]

    • Offizieller Beitrag

    Hierbei handelt es ich um eine zusammengesetzte Bewegung, ähnlich wie beim waagerechten Wurf. Für die Bewegung in x-Richtung gilt:
    [TEX]x = v_0 t [/TEX] wobei [TEX]v_0[/TEX] die Anfangsgeschwindigkeit und t die Zeit darstellen soll.
    Für die Bewegung in y-Richtung gilt:
    [TEX]y = - \frac{g}{2}t^2[/TEX], mit g als Erdbeschleunigung [TEX](9,81\frac{m}{s^2})[/TEX] und t als Zeit.
    Beide Bewegungen überlagern sich völlig ungestört.
    Folglich ist die zurückgelegte Strecke [TEX]s = v_0t - \frac{g}{2}t^2[/TEX].
    Nun kann man errechnen, in welcher Zeit der Ball die Höhe von 2,40 m durchfällt.

    [TEX]2,40 =\frac{g}{2}t^2 [/TEX]
    Daraus folgt: t = 0,7 Sekunden
    Mit diesem Wert kann man die Anfangsgeschwindigkeit berechnen, denn die 23,77m werden in genau dieser Zeit vom Ball zurückgelegt.
    [TEX]23,77 = 0,7 v_0 [/TEX]
    [TEX]v_0 = 33,96 [/TEX]m/s
    Dieser Wert wird in km/h Stunde umgerechnet. (122 km/h)

    Wenn man aus den beiden Bewegungsgleichungen die Zeit eliminiert, erhält man die Gleichung einer Bahnkurve im x-y-Koordinatensystem:

    [TEX]x = v_0t[/TEX] Daraus folgt: [TEX]t = \frac{x}{v_0}[/TEX]
    t wird nun in die zweite Bewegungsgleichung eingesetzt:

    [TEX]y = - \frac{g}{2v_0^2}x^2[/TEX]

    Diese Bahnkurve ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Ausgangspunkt (Treffen des Balles mit dem Schläger) liegt im Koordinatenursprung.

    Vielen Dank für eure Antworten!

    Zwei fragen:

    Ist die letzte Formel die du geschrieben hast, Olivius, die nach der bei a) gefragt wurde? Das wäre ja leicht.

    Warum hast du ein - vor der Gleichung stehen? Weil der Ball nach unten fliegt?

    Danke!

    Ich würde beide Fragen verneinen.

    1. Das Minus ist bei den gegebenen Achsen falsch. (Minus würede bedeuten, dass der Ball gen Himmel fliegt)
    2. Ist die letzte Gleichung keine, die die Bewegung Räumlich und Zeitlich beschreibt. Das ist aber mmn nach nötig für eine Bewegungsgleichung. Ob man dann die Bewegungsgleichung als Differentialgleichung(en) angibt oder deren Lösung, darüber kann man sicher streiten.

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Sobber

    Ich würde beide Fragen verneinen.

    1. Das Minus ist bei den gegebenen Achsen falsch. (Minus würede bedeuten, dass der Ball gen Himmel fliegt)
    2. Ist die letzte Gleichung keine, die die Bewegung Räumlich und Zeitlich beschreibt. Das ist aber mmn nach nötig für eine Bewegungsgleichung. Ob man dann die Bewegungsgleichung als Differentialgleichung(en) angibt oder deren Lösung, darüber kann man sicher streiten.



    Zur Richtigstellung:

    1) Es ist kein Minuszeichen bei den gegebenen Achsen gesetzt worden! Gemeint ist diese Bewegungsleichung: [TEX]y = - \frac{g}{2v_0^2}x^2[/TEX]
    Das ist eine nach unten geöffnete Parabel. (Wer's nicht glaubt, möge sie sich zeichnen.)

    2) Nein! Das sollte sie auch gar nicht, denn die Zeit t ist eliminiert worden!
    Damit ist eine Bewegungsgleichung im x-y-Koordinaten-System entstanden, völlig unanbhängig von der Zeit. Die Höhe des Balles wird nun in Abhängigkeit von der Entfernung zum Netz ausgedrückt. Gerade diese Gleichung - unabhängig von der Zeit - ist gesucht worden. (Der Rest - Differentialgleichungen - wurde gar nicht angesprochen.)

    1) Verstehe gerade die Anmerkung nicht. Aber kannst ja mal deine Gleichung zusätzlich in die Skizze(Aufgabenstellung) einzeichnen. Mich würde es wundern, wenn sich der Ball so verhalten würde. Ich weiß, dass du das richtig kannst und das richtige meinst, aber die Schwerkraft ist hier durch [TEX]F_g = m \cdot g \cdot \vec e_y[/TEX] gegeben.

    2) http://de.wikipedia.org/wiki/Bewegungsgleichung
    Wikipedia hat sicher nicht immer recht, ist hier aber sehr schlüssig. Differentialgleichungen wurden von Franz in den Raum geworfen, und er hat damit sicherlich recht.

    • Offizieller Beitrag

    Ich verstehe die Anmerkungen auch nicht. Im Beitrag #4 ist alles Schritt für Schritt erläutert worden. Die Aufgabe war, aus den angegebenen Daten in Abhängigkeit von t nun eine Bewegungsgleichung zu erstellen - nicht in Abhängigkeit von t, sonden im x-y-System. Dabei ist x die Längenkoordinate und y die Fallhöhe des Balles.
    Wenn der Treffpunkt (Schläger/Ball) in 2,40 m Höhe über der Grundlinie des Spielfeldes liegt, dann fällt der Ball von dort an herab. Folglich ist die Flugbahn des Balles eine nach unten geöffnete Parabel. Die angeführte Bewegungsgleichung hat nichts mehr mit der Zeit zu tun. Die Zeit ist eliminiert. Die neue Bewegungsleichung gibt die Höhe des Balles (y) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Grundlinie (Aufschlagspunkt) (x) an. Eine solche Bewegungsgleichung war gesucht.
    Die Flugbahn des Balles ist bereits in der Skizze eingezeichnet. Das ist eine nach unten geöffnete Parabel. Zahlenmäßig sieht das so aus. [TEX]y = - 0,004253 x^2[/TEX]
    Punkt 1) - Aufschlag, x-Koordinate = 0 / y-Koordinate ebenfalls 0
    Punkt 2) - Treffpunkt des Balles auf den Boden; x-Koordinate 23,77 / y-Koordinate = - 2,40 (denn bis dahin ist der Ball 2,40 m gefallen.) (Natürlich kann man den Koordinatenursprung auch an eine andere Stelle legen, dann ändert sich die Gleichung ein wenig. Der Einfachheit halber habe ich ihn mit dem Treffpunkt Schläger/Ball zusammengelegt.)
    Um Differentialgleichungen geht es hier gar nicht, sondern lediglich darum, die Zeitabhängigkeit zu beseitigen und eine Bewegungsleichung für den x-y-Raum aufzustellen. Das ist mit obiger Gleichung geschehen. Sollte das nicht stimmen, bitte ich einfach um eine andere Lösung.
    Der Aufschlagpunkt ist der Koordiantenursprung.

    Nochmal zum Minuszeichen.
    Ich habe mich an der Skizze Orientiert, nach dieser Wäre das Falsch: Ball wird wird bei (0|0) Aufgeschlagen und kommt bei (23.77|2.4) auf.
    Der Text zur Aufgabenstellung sagt was anderes. Dort wird nicht ganz klar, wo der Urpsrung genau ist. Der Ball wird dann bei (x_0|2.4) aufgeschlagen und kommt bei (x_0+22.7|0) auf.
    Deine Wahl ist nochmal total unterschiedlich davon. Ich würde hier einfach mit der Skizze gehen. Schlussendlich ist es Geschmackssache und sobald man vorher seine Wahl klar definiert ist alles in Ordnung.

    Zu der Bewegungsgleichung.
    In der Aufgabenstellung steht explizit nichts davon, dass die Zeit eliminiert werden soll und dann würde ich mich eher an Definition von Bewegungsgleichung halten, wie bspw Wikipedia eine bietet (auch die ersten Google treffer nach dem Stichwort sind da ähnlicher Meinung). Gibt es irgendwelche Stellen, wo die Kurve in der Ebene als Bewegungsgleichung definiert wird?

    Lösen könnte man die Aufgabe dann bspw über die Energien (Lagrange) oder über die Kräfte (Newton).

    Über die Kräfte (In meinem oben als erstes Vorgestelltem Koordinatensystem):
    [TEX]m \cdot \ddot \vec r = m \left( {\begin{array}{c} \ddot x \\ \ddot y \\ \end{array} } \right) = m \left( {\begin{array}{c} 0 \\ g \\ \end{array} } \right)
    [/TEX]

    Mit der Lösung:
    [TEX]\vec r = \left( {\begin{array}{c} v_{x_0} \cdot t + x_0 \\ \frac{g}{2}t^2 + v_{y_0} \cdot t + y_0 \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{c} v \cdot t \\ \frac{g}{2}t^2 \\ \end{array} } \right)[/TEX]

    Beides ist Äquivalent und sind mmn Lösungen für die a. Wenn man sichergehen will gibt man beide zusammen an. Mit diesen Bewegungsgleichung lassen sich ja dann auch die Folgenden b und c lösen (ok das ist ein schwaches Argument, aber vllt hat sich jemand bei der Aufgabenstellung ja was gedacht).

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Sobber

    Nochmal zum Minuszeichen.
    Ich habe mich an der Skizze Orientiert, nach dieser Wäre das Falsch: Ball wird wird bei (0|0) Aufgeschlagen und kommt bei (23.77|2.4) auf.
    Der Text zur Aufgabenstellung sagt was anderes. Dort wird nicht ganz klar, wo der Urpsrung genau ist. Der Ball wird dann bei (x_0|2.4) aufgeschlagen und kommt bei (x_0+22.7|0) auf.
    Deine Wahl ist nochmal total unterschiedlich davon. Ich würde hier einfach mit der Skizze gehen. Schlussendlich ist es Geschmackssache und sobald man vorher seine Wahl klar definiert ist alles in Ordnung.

    Zu der Bewegungsgleichung.
    In der Aufgabenstellung steht explizit nichts davon, dass die Zeit eliminiert werden soll und dann würde ich mich eher an Definition von Bewegungsgleichung halten, wie bspw Wikipedia eine bietet (auch die ersten Google treffer nach dem Stichwort sind da ähnlicher Meinung). Gibt es irgendwelche Stellen, wo die Kurve in der Ebene als Bewegungsgleichung definiert wird?

    1)
    Die Aufgabe lautet: " a) Stellen Sie bei dem vorgegebenen Bezugssystem die Bewegungsgleichungen auf."
    Das Bezugssystem ist ein x-y-System, und in diesem System soll die Bewegungsgleichung ausgedrückt werden, folglich muss die Zeit hier eliminiert werden.

    2)
    Mir ist unklar, woher die oben rot gekennzeichneten 22,7 kommen, vielleicht ein Tippfehler.

    3) Wenn man sich an der Skizze orientiert, dann wird der Ball in einer Höhe von 2,4 m getroffen. Er kann folglich nicht nach 23,77 m auf der gleichen Höhe geblieben, sondern muss um 2,4 m gefallen sein. Folglich sind die Koordinaten (23,77/ - 2,4)
    Richtig: Die Wahl des Koordinatenursprungs ist Geschmacksache. Meine Wahl ist klar definiert: Ursprung ist der Treffpunkt Schläger-Ball an der Grundlinie in Höhe von 2,40 m. Von da ab fällt der Ball.

    Wir kommen uns langsam näher :)

    1) Bezugssystem meint, dass der Platz ruht, der Ball im Ursprung getroffen wird und über die Zeit wird leider nichts gesagt. Man könnte bspw. auch ein anderes Bezugssystem wählen, in dem dann die x Komponente des Balls konstant ist. vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Bezugssystem#Physik

    2) Ja ist Tippfehler.

    3) In der Skizze wird der Ball im Ursprung getroffen. Ferner ist die y Achse nach unten gerichtet, dass heißt je tiefer der Ball, desto größer der y-Wert. Das Problem ist jetzt, dass du durch die Verschiebung des Ursprungs und umlegen der y-Achse eben in einem anderen Bezugssystem bist als die Skizze.

    Ich glaube wir sollten uns darauf einigen, dass die Aufgabenstellung einfach nicht vollständig/eindeutig ist.

    • Offizieller Beitrag

    So ist es! Ich habe aber deutlich darauf hingewiesen, wohin ich den Ursprung gelegt habe. (Vielleicht etwas ungewöhnlich) Man könnte den Ursprung auch in die Ebene der Spielfläche legen, dann hätte der Ball beim Aufschlag im x-y-System die Koordinaten P0 (0/2,40) und beim Aufprall auf den Boden die Koordinaten P1 (23,77/0). (Dann müsste die Bewegungsgleichung etwas verändert werden; mit dem Beginn im Ursprung schien es mir am einfachsten zu sein.)

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Dossier

    Trau mich ja kaum noch zu fragen, aber wir bleiben bei y=-g/2*(x/v)²? :)



    Du musst auf den Ursprung des Systems achten. Bei dieser Bewegungsgleichung liegt der Koordinatenursprung in dem Punkt, in dem der Schläger den Ball trifft. (Vielleicht etwas ungewöhnlich.) Du kannst den Ursprung auch in die Spielfläche legen, an die Grundlinie, von der der Aufschlag gemacht wird, genau unterhalb des Punktes, an dem der Schläger den Ball trifft. Dann muss auf der rechten Seite der Gleichung 2,40 addiert werden. Um es noch einmal zu verdeutlich: Bei dieser Bewegungsleichung ist die Flughöhe des Balles in Abhängigkeit von seiner Entfernung vom Aufschlagspunkt zu sehen, nicht in Abhängigkeit von der Zeit.

    Hallo, meine Tochter ist jetzt in der 6. Klasse und muss Geschwindigkeitsberechnungen machen, das Problem ist das sie kein Interesse an Physik hat und ich damals auch nicht, dadurch kommen wir beide nicht damit zurecht.

    Aufgabe 1. wäre: Ein D-Zug benötigt für 650 km etwa 4 Stunden. Berechne die Geschwindigkeit in km pro Stunde.

    Aufgabe 2. wäre: Die Gondel einer Seilbahn legt in 6 Minuten eine Strecke von1872 m zurück. Berechne die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

    Ich weiß das man km/h in m/s mal 3,6 rechnet und m/s in km/h : 3,6 rechnen muss, aber damit hörts auch schon auf.

    Kann mir jemand helfen? Mein Kind schreibt eine Klassenarbeit über die Berechnungen und wir könnten jede Hilfe gebrauchen.

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Unregistriert

    Hallo, meine Tochter ist jetzt in der 6. Klasse und muss Geschwindigkeitsberechnungen machen, das Problem ist das sie kein Interesse an Physik hat und ich damals auch nicht, dadurch kommen wir beide nicht damit zurecht.

    Aufgabe 1. wäre: Ein D-Zug benötigt für 650 km etwa 4 Stunden. Berechne die Geschwindigkeit in km pro Stunde.

    Aufgabe 2. wäre: Die Gondel einer Seilbahn legt in 6 Minuten eine Strecke von1872 m zurück. Berechne die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

    Ich weiß das man km/h in m/s mal 3,6 rechnet und m/s in km/h : 3,6 rechnen muss, aber damit hörts auch schon auf.

    Kann mir jemand helfen? Mein Kind schreibt eine Klassenarbeit über die Berechnungen und wir könnten jede Hilfe gebrauchen.


    Zur Aufgabe 1)

    Geschwindigkeit errechnet man, indem man den zurückgelegten Weg durch die dabei benötigte Zeit dividiert (teilt).
    In diesem Fall: 650 : 4 = 162,5
    Der D-Zug fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 162,5 km/h.

    Aufgabe 2)
    Der Rechenweg ist hier ganz ähnlich: Weg dividiert durch Zeit
    Allerdings solltest du hier bedenken, dass man zuvor die 6 Minuten in Sekunden umwandeln muss, da die Geschwindigkeit m/s gefragt ist.
    1872 : 360 = 5,2
    Die Gondel fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 5,2 m/s.

    Vielen Dank für die schnelle Hilfe. Würde mich gerne wieder an euch wenden, wenn wir noch weitere Probleme haben. Danke!