Wendepunkte, Extrempunkte und 4 (!!!) Schnittpunkte

    Hallo,

    ich verzweifel gerade an einem Arbetsblatt für die Schule, ich werde hier mal die Aufgaben aufschreiben, das was ich bisher habe und die Fragen die ich dazu habe...

    1. Bestimmen sie die Wendepunkte der Funktionen.
    Welche Krümmungswechsel liegen in den Wendepunkten vor?

    F(x)=0,25x²-x³+0,5
    g(x)=0,3xhoch5 -4x³ +10


    Muss ich das Zeichnen um die Krümmungswechsel zu sehen, oder kann man das an den Ergebnissen oder der Gleichungen sehen, wenn ja -wie? Dazu stellt sich mir die Frage wie man den Wendepunkt berechnen soll -mit Ableitungen? wie viele?

    3. Untersuchen Sie de Funktion f(x)=-0,5xhoch5 +2,5x³ -5x; x E [-2; 2]
    a)auf Extrempunkte und Wendepunkte
    b)lassen sich Symetrieeigenschaften feststellen?
    c) Erstellen sie eine Wertetabelle (x-Werte in 0,5er Schritten) und zeichnen Sie die Funktion. Markieren sie im Graph die Extrem- und Wendepunkte

    also mit c) hätte ich kein problem,wahrscheinlich das leichteste an der Aufgabe

    bei a habe ich allerdings schon bei den Extrempunktenprobleme
    ich schreibe mal auf,was ich bisher habe:

    a) EXTREMPUNKTE

    Ableitungen

    f(x)=-0,5xhoch5 +2,5x³ -5x
    f '(x)=-2,5xhoch4 +7,5x² -5
    f "(x)=-10x³ + 15X

    f'(x)=0 ->Notwendige Bedingung
    -2,5xhoch4 +7,5x² - 5 = 0 |:-2,5
    xhoch4 -3x² +2 = 0 | quadratische ergänzung
    xhoch4 -3x² +1,5² -1,5 +2 = 0
    (x²-1,5)² + 0,5 = 0

    wenn ich die 0,5 abziehen würde, hätte ich ne negative zahl, aus der ich ne wurzel ziehen müsste...x.x

    f"(x) ungleich 0 ->hinreichende bedingung

    5) Berechnen Sie de Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x)=xhoch4 + x² g(x)07x² -5
    Mein mathelehrer sagte,dass da 4 schnittpunkte rauskommen müssen, aber wie soll das gehen, ich dachte immer man müßte die Funktionen gleichsetzen ><


    Vielen Dank schonmal im Vorraus

    1) Krümmung ist die zweite Ableitung der Funktion. An einer Wendestelle ist die Krümmung 0 und hat einen Vorzeichenwechsel. Hier soll also geschaut werden, wo das der Fall ist und ob der Wechsel von - nach + oder von + nach - ist.

    3)Du hast falsch erweitert und ein ² vergessen. - (1,5)^2 = - 2,25. Wenn man das damit rechnen, dann muss man nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen.

    5) Warum sollte es beim Gleichsetzen nicht möglich sein, dass es 4 Lösungen gibt? Mach doch einfach mal.

    Ja du addierst ja eine 0, damit sich die gleichung nicht verändert,

    aber (1.5)^2 - 1.5 = 0.75 und nicht die geforderten 0. Dass was Addiert wird muss auch wieder Subtrahiert werden um auf die 0 zu kommen.

    Und woher weis ich wann der krümmungswechsel von + nach - oder von - nach + ist bzw. Wie berechne ich das ???

    Das kannst du mit der dritten Ableitung machen:
    Wenn f'''(xW) > 0 , dann wechselt die Krümmung von rechts nach links,
    wenn f'''(xW) < 0 , dann wechselt die Krümmung von links nach rechts.

    Beispiel:
    g(x) = 0,3x⁵ – 4x³ + 10
    g'(x) = 1,5x⁴ - 12x²
    g''(x) = 6x³ – 24x = 6x∙(x² – 4) = 6x∙(x+2)∙(x–2) → Wendepunkte 0; –2; +2
    g'''(x) = 18x² - 24 = 18∙(x² - 4/3)

    g'''(0) = 18∙(0 – 4/3) < 0 → links nach rechts
    g'''(–2) = 18∙(4 – 4/3) > 0 → rechts nach links
    g'''(+2) = 18∙(4 – 4/3) > 0 → rechts nach links

    Zu Aufgabe 5)
    Gleichsetzen ist richtig, anschließend bringst du alles auf eine Seite und erhältst
    x⁴ – 6x² + 5 = 0 .
    Manchmal kann man faktorisieren (Satz von Vieta, binomische Formel,...), dann kannst du die Nullstellen direkt ablesen, z.B.
    0 = x⁴ – 6x² + 5 = (x² – 5)(x² – 1) = (x – √5)(x + √5)(x – 1)(x + 1)