Linearfaktorzerlegung

    Hallo Leute,

    wir machen gerade Linearfaktorzerlegung um die Nullstellen zu ermitteln. Ich verstehe nicht wie man dabei vorgehen muss. Mit anderen Lösungsverfahren kann ich das, aber in der Klausur muss man ja das nehmen was man in Unterricht als letztes gemacht hat…
    Ich habe hier mal 3 Beispiele:
    1.) 0,5x^2-x-4
    2.) 2x^2-x-1
    3.) X^3-3x^2-2x
    Wie geht man denn dabei vor??? Habt ihr sozusagen eine Beschreibung wie man auf die Linearfaktoren kommt?

    Und noch eine kleine Frage, wenn ich bereits Linearfaktoren habe, z.B. (x+1)*(x-3)*(x^2+1), wieso hat (x^2+1) keine Nullstellen??? Kann man nicht einfach nochmal x ausklammern?

    Danke für eure Hilfe!

    Hallo,

    die Funktionen, die du in deinen Beispielen angegeben hast, sind ja Polynome 2-ten und 3-ten Grades. Das siehst du an den "Hochzahlen" (... 0,5x^2 ... 2x^2 ... x^3). An dem Grad der Funktion kannst du ablesen, wie viele Nullstellen die Funktion hat. Beispiel 3 hat somit 3 Nullstellen, Beispiel 1 und 2 haben nur 2 Nullstellen.

    Dein Endziel bei der Linearfaktorzerlegung ist es, deine Funktionen anders darzustellen. Die Funktionen selbst ändern sich durch die neue Gestalt nicht.

    Ich weiß natürlich jetzt nicht, wie ihr im Unterricht eure Funktionen zerlegt habt, daher erkläre ich es dir so, wie ich es machen würde. ;)

    1) Nullstelle erraten
    2) Polynomdivision durchführen

    zu 1) : Oft erkennst du an der "letzten" Zahl in deinem Polynom, welche Nullstellen in Frage kommen. Im Beispiel 1 sind das Zahlen von -4 bis +4. Im Beispiel 2 ist es angenehmer, da kommen Zahlen von -1 bis +1 in Frage. In Beispiel 3 denke dir: x^3 - 3x^2 - 2x + 0. 0 kommt jetzt als Nullstelle in Frage.

    Nun geht das Raten los. Dabei musst du einfach mal Zahlen, die in Frage kommen, in deine Funktion einsetzen und schauen, bei welcher f(x) = 0 herauskommt.

    z.B. Beispiel 2:

    f(-1) = 2 (-1)^2 - (-1) -1 = 2 + 1 -1 = 2 -> Die Zahl -1 ist ausgeschieden
    f(0) = -1 (rechne selbst im Kopf)
    f(1) = 0 -> dein erster Linearfaktor ist (x - 1)! (ACHTUNG: jetzt nicht +1 sondern -, da ein Linearfaktor so gebaut ist (x-x_n), wobei x_n die Nullstelle ist. Hast du also eine positive Nullstelle, taucht sie im Linearfaktor negativ auf und umgekehrt.)

    Diesen ersten Teil "Nullstellen erraten" wird meistens im Kopf gemacht, weil er ansich nicht besonders schwierig ist. Vielleicht liegt hier bereits die Ursache deines Problems?! Oder macht ihr es anders?

    zu 2) Jetzt führt man für gewöhnlich eine Polynomdividion durch:
    (2x^2 - x - 1) : (x - 1) = 2x + 1
    -(2x^2 - 2x)
    x - 1
    -(x - 1)
    0

    Damit ergibt sich für deine Zerlegung: f(x) = 2x^2 - x - 1 = (x - 1) (2x + 1)
    Falls du Fragen zur Polynomdivision hast, dann raus damit. Die taucht gerne an anderen Stellen im Mathematikunterricht wieder auf.


    So viel zum Thema: Wie kann ich eine Linearfaktorzerlegung machen?

    Nun zu deiner anderen Frage: x^2 +1 hat Nullstellen ;) , jedoch nicht im Bereich der reellen Zahlen. Wir können die ja mal bestimmen!

    f(x) = x^2 + 1 = 0
    x^2 = -1

    -> x = + - Wurzel aus (-1)
    Aus negativen Zahlen lässt sich bekanntlich ja schlecht die Wurzel ziehen! Dennoch hat man der Zahl "Wurzel
    aus -1" ein Symbol gegeben, nämlich i ! Das steht für "imagniäre Zahl".

    Komplexe und imaginäre Zahlen sind nicht bloß Geistesgespinnste oder Phantasie sondern spielen heute eine große Rolle in der Physik und Mathematik. So lassen sich Wellen und Schwinungen in der Physik oft viel leichter "komplex" als reell beschreiben und Probleme auf diese Weise lösen. Wenn du Lust hast, such doch mal im Internet nach "imaginäre Zahl".

    Ich hoffe, ich konnte dir helfen,
    Lian