3 Aufgaben die ich nicht lösen kann Quadratische Gleichungen

    Hallo, ich habe 3 Aufgaben die ich einfach nicht hinbekomme. Es wäre wirklich nett von euch wenn ihr mir die Vorrechnen würdet es geht um folgende 3

    Bestimme die Lösungsmenge der reinquadratischen Gleichungen und mache die Probe
    (2x+1)²=(X+5)²

    Lösen Sie durch quadratische Ergänzung und machen Sie die Probe
    X²-4X=5

    Lösen Sie durch Faktorisieren und machen Sie die Probe
    X²-14X+49=49


    Ich habe schon versucht diese Aufgaben auszurechnen bekomme es aber nicht hin. Falls ihr mir weiter helfen könnt bin ich wirklich dankbar.

    Lösen Sie durch faktorisieren
    X²-14X+49=49
    (X+49)²=49 / √
    X+49=7 /-49 X+49=-7 /-49
    X=-42 X=-56

    Lösen Sie durch Quadratische Ergänzung
    X²-4X=5 /QE
    X2-4X+(4/2)²=5+(4/2)²
    (X-4/2)²=9 / √
    X-4/2=3
    X-2=3 /+2 X-2=-3 /+2
    X=5 X=-1

    Das sind meine bisherigen Rechnungen, bei der anderen weis ich nicht weiter.

    Zitat von Unregistriert

    Lösen Sie durch faktorisieren
    X²-14X+49=49
    (X+49)²=49 / √

    Stop! Das ist quasi die Methode der quadratischen Ergänzung. Und auch Falsch.

    [TEX]x^2-14x+49 = (x-7)^2[/TEX]

    Wir sollen aber Faktorisieren.
    [TEX]x^2-14x+49 = 49[/TEX]
    [TEX]x^2-14x = 0[/TEX]
    [TEX]x(x-14) = 0[/TEX]
    [TEX]x_1 = 0[/TEX] und [TEX]x_2 = 14[/TEX]


    Die andere Lösung ist richtig.

    Aus [TEX](2x+1)^2=(x+5)^2[/TEX]
    Folgt [TEX]2x+1 = x+5[/TEX] oder [TEX]2x-1 = -(x+5)[/TEX]

    Super, danke Sobber.

    Ich habe noch eine frage und zwar wie man folgende Aufgabe berechnet. Sie soll auch durch Faktorisieren gelöst werden.
    2x²+20x+50=98

    Meine Rechnung:
    2x²+20x+50=98/-50
    2x²+20x=48 /:2
    x²+20x=24 / -24
    x²+20x-24= 0
    x (x+20) -24

    x1 = -24
    x2 = 20


    Die verstehe ich überhaupt nicht, muss auf der rechten Seite immer null stehen ?

    Zitat von Unregistriert


    x²+20x-24= 0
    x (x+20) -24 = 0

    x1 = -24
    x2 = 20



    Ist die Gleichung für deine x-Werte wirklich erfüllt?

    Aber das Faktorisieren läuft anders, das x rausziehen Funktioniert nur, wenn x = 0 eine Nullstelle ist.

    2x²+20x+50=98

    So sieht unsere ausgangsgleichung aus. Jetzt müssen wir uns eine Lösung erraten. Bei durchdachten Aufgaben sind dies meistens kleine ganze Zahlen, also -3,-2,-1,0,1,2 usw.
    Mit ein wenig schauen und einsetzen stellen wir fest, x=2 ist eine Lsg.

    Dann haben wir: 2x²+20x-48=0 und wir wissen x=2 ist lösung.

    (2x²+20x-48):(x-2) =

    Ergebnis bestimmen, ich nenn es jetzt (x-a). Dann gilt
    2x²+20x-48= (x-a)(x-2) = 0

    Mit x=a ist weitere Lösung.

    Beim Teilen durch 2 hast du die 20x vergessen, die Gleichung in Normalform ist also:
    x² + 10x – 24 = 0

    Das Raten (siehe Sobber) kann man hier auch folgendermaßen machen:
    Suche alle Zahlenpaare, die das Produkt –24 haben:
    –1;24 [TEX] \hspace*{1.0cm} \; [/TEX] 1;–24
    –2;12 [TEX] \hspace*{1.0cm} \; [/TEX] 2;–12
    –3;8 [TEX] \hspace*{1.0cm} \; [/TEX] 3;–8
    –4;6 [TEX] \hspace*{1.0cm} \; [/TEX] 4;–6
    und prüfe, ob irgendwo als Summe +10 rauskommt (Zahl vor dem x). Das ist bei –2;12 der Fall, d.h. diese beiden Zahlen gehören in die Klammern:
    x² + 10x - 24 = (x – 2)(x + 12)

    Das nennt sich auch der Satz von Vieta. Erklärung: Wenn man ein allgemeines Produkt aus zwei Linearfaktoren multipliziert
    (x + a)(x + b) = x∙x + x∙b + a∙x + a∙b = x² + (a+b)x + a∙b
    sieht man, dass die einzelne Zahl das Produkt der Zahlen in den Klammern ist und die Zahl vor dem x die Summe dieser beiden Zahlen.