Mathe-problem

Nehmen wir mal ein Beispielproblem:
[TEX]a = b^x[/TEX]

Dass hat die Lösung
[TEX]x = \log_b (a)[/TEX]

Warum gibt es keinen log(0)?
Daraus folgt ja direkt auch [TEX]b^x = 0[/TEX]. Dies funktioniert allerdings nur für b = 0 und dann gibt es keine eindeutige Lösung für x.

Für negative Zahlen ist das ähnlich. Wenn die Basis b des Logarithmus positiv ist, dann kann [TEX]b^x[/TEX] niemals kleiner als 0 sein. Für ein b<0 haben wir das Problem, dass [TEX]b^x[/TEX] keine reelle Funktion ist. Der Logarithmus ist die umkehrfunktion und dürfte dann auch nicht reell sein. Hab es aber bisher noch nicht erlebt dass überhaupt jemand einen Logarithmus zu einer Basis < 0 angibt.

Welche Werte erwartet man für den Logarithmus?
Als Umkehrfunktion erwartet man als Wertemenge die Definitionsmenge der Potenzfunktionen, also [TEX]\mathbb R[/TEX]

Wann ist der Negativ ist hängt von der Basis ab, für eine Basis >1 ist der Logarithmus für x < 1 negativ. Für eine Basis kleiner als 1 entsprechend andersrum.

Bei der letzten Frage ist wieder die Umkehrfunktion das Stichwort. Die Potenzfunktion ist für alle x aus den reellen Zahlen definiert, dann kann der Logarithmus auch alle als Werte annehmen.