Welche Teilmengen sind Unterräume von Vektorraum?

    V Vektorraum der stetigen Funktionen von R nach R über Körper R
    Welche Teilmengen sind Unterräume von Vektorraum?

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    Da es sich um Funktionen als Teilmengen handelt bin ich mir nicht sicher wie die Beweisführung auszusehen hat.
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    Teilmenge....
    A { f element V | f(-1) = f(1) } ....sind also alle Symetrischen Funktionen.

    Meine Antwort wäre JA, denn ....

    (1) Abgeschlossenheit gegenüber Vektoraddition
    (2) Abgeschlossenheit gegenüber Skalarmultiplikation
    (3) Der U darft nicht Leer sein und muss den 0 Vektor enthalten
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    zu (1)

    h (x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x)
    h (1) = (f+g)(1) = f(1) + g(1)
    h(-1) = (f+g)(-1) = f(-1) + g(-1)
    h(1) = h(-1) Somit ist h element von U

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    zu (2)
    alpha f(1) = alpha f(-1)

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    zu (3)

    0 element R und f(-0) = f(+0)

    Reicht sowas als Begründung?
    Falls Nein bitte ich um Korrektur
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    Zusätzliche Frage: Gibt es mathematisch definierte grenzen zwischen schwach monoton steigend und monoton steigend ?

    Bezug...
    Ich habe hier eine weitere Teilmenge:
    X { f element V | f ist schwach monoton wachsend oder monton fallend }

    Falls diese Teilmenge kein Unterraum ist dann nur wenn zum beispiel bei der addition 2er vektoren oder der multiplikation eines skalars der resultierende Vektor einen "monoton steigenden" (und halt nicht mehr ""schwach"" monoton steigend) ist.

    Soll ich das als bedingung in textform so hinschreiben? oder wie verfährt man ?
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    Danke :]

    4 Mal editiert, zuletzt von LeAdx (31. Oktober 2010 um 20:26)

    Wo hast du denn gezeigt, dass 0 ein Element von U ist? Also mmn bräuchte es da eine Funktion g(x)=0, für die gilt g(-1)=g(1)
    Nebenbei, sind die Funktionen wirklich alle symetrisch, nur weil gilt f(-1)=f(1)?

    wenn schwach monoton steigend und monoton steigend im zusammenhang auftauchen, dann meint schwach monoton f'>= 0 und monoton f'>0. Zumindest kenn ich es so. Wenn man das geühl hat, dass die Teilmenge kein Unterraum ist, dann würde ich versuchen direkt zwei Elemente zu finden, die eben bei der Addition nicht mehr in der Teilmenge sitzen.