Hey,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, diese lautet:
Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis.
Wähle die Maße dieses Rechtecks so, dss bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein Inhalt möglichst groß wird.
Ansatz:
A= 1/2pi*r² + 2r*y
U= 2r+2y+ pi*r
nach y aufgelöst= U/2-2r-pi*r
__________________
1/2 pi*r²+2r*(U/2-2r-pir)
Ich hab da Probleme beim Auflösen. Danke für die Hilfe!
Ist eine Extremwertaufgabe, du hast jetzt ja schon eine Funktion für den Flächeninhalt mit nur noch einer Variablen. Zumindest theoretisch, aber deine Nebenbedingung für den Umfang ist falsch und auch falsch aufgelöst:
[TEX]U = r + 2y + \pi \cdot r = (1+\pi)r + 2y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{U}{2} - \frac{1+\pi}{2}r[/TEX]
Auch deine Ausgansfunktion ist falsch, hat ja nur ein Rechteck:
[TEX]A = \frac{1}{2}\pi r^2 + ry[/TEX]
Zusammen macht das:
[TEX]A = \frac{1}{2}\pi r^2 + r ( \frac{U}{2} - \frac{1+\pi}{2}r )[/TEX]
[TEX]A = \frac{1}{2}\pi r^2 + \frac{U}{2}r - \frac{1+\pi}{2}r^2 [/TEX]
[TEX]A = \frac{1}{2}\pi r^2 + \frac{U}{2}r - \frac{1}{2}r^2 - \frac{\pi}{2}r^2[/TEX]
[TEX]A = - \frac{1}{2}r^2 + \frac{U}{2}r[/TEX]
Für welches r wird der Ausdruck maximal? (Hochpunkt)
Ich verstehe nicht wie du U umgestellt hast auf y
Kannst du mir diesen Schritt noch mal genau erklären?
Das U so lauten muss ist aber klar?
[TEX]U = (1+\pi)r + 2y [/TEX]
[TEX]U - (1+\pi)r = 2y [/TEX]
Nur noch durch 2 teilen:
[TEX] \Rightarrow y = \frac{U}{2} - \frac{1+\pi}{2}r[/TEX]
