vorzeichenwechselkriterium

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hi leute bei einer aufgabe sollten wir bestimmen ob etwas ein tiefpunkt oder ein hochpunkt ist. Dafür mussten wir das vorzeichenwechselkriterium anwenden. f´(x) = 0,5* ( 2*x^2 - 8x+6)^5
z.b gibt es die funktion f´(x) = 2,5*(2x^2-8x+6)^ 4 *(4x-8)
und die nullstellen sind 3 , 1 und 2.
Dann mussen wir die nebenbedingung anwenden und herausfinden ob es ein hp oder tp ist.
Unser lehrer wendet die vorzeichenwechselkriterium an ind setzt für di erste ableitung 0/ 1,5/ 2,5/ und 4 ein.
für 0 und 1,5 kam eine zahl kleiner als 0 vor und für 2,5 und 4 eine zahl höher als null. Und bei 2 kam ein tp raus.
Er hat dan geschrieben dass die richtige einzige extrempunkt 2 also der tiefpunkt ist, aber ich verstehe jetzt nicht wieo? und wie kommt er darauf dass 2 ein tiefpunkt ist.....

ich brauche dringend hilfe ich verstehe gar nix mehr.... bitte....

Sobber

Also 1, 2, und 3 sind die möglichen Extremstellen, da hier die erste Ableitung gleich 0 ist.

Wenn du einen Tiefpunkt aufzeichnest, dann wirst du feststellen, dass vor dem Tiefpunkt die Steigung negativ ist und hinter dem Tiefpunkt die Steigung dann Positiv. Bei einem Hochpunkt ist es genau andersrum. Die Steigung (1. Ableitung) hat also einen Vorzeichenwechsel.

Dieser Vorzeichenwechsel findet an der Stelle 2 statt. f'(1,5) < 0 und f'(2,5) > 0 und in dem Intervall [1,5;2,5] ist nur die eine Nullstelle 2. Das kriterium für einen Tiefpunkt ist also an dieser Stelle erfüllt.

Für die Stelle 1 werden die Stellen 0 und 1,5 kontrolliert. Hier gibt es keinen Vorzeichenwechsel. In unserem Fall sind beide stellen f' < 0. Für die eigentliche Funktion bedeutet dies, dass der Funktionswert von 0 an fällt, an der Stelle 1 ist die Steigung dann 0 und danach fällt der Funktionswert weiter. Also gibt es hier keinen Hoch- oder Tiefpunkt.

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