Parabeln - Schnittpunkte

    Huhu,
    hab mal eine kleine Frage. Ich schreibe nächste Woche eine Mathearbeit und komme mit dem Thema Parabeln absolut nicht klar -.- Mache gerade eine Übungsaufgabe an der ich aber leider hänge.
    "Eine Gerade g1 geht durch die Punkte P(-4,5|-6,5) und Q(6|-3). Eine weitere Gerade g2 mit der Steigung m = -1 verläuft durch R(-2|1).
    Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes T der beiden Geraden. Der an der y-Achse gespiegelte Schnittpunkt T ist Scheitelpunkt S an einer nach oben geöffneten, verschobenen Normalparabel p. Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel p und Gerade g2."
    So. Das war die Aufgabe. Mein Lösungsansatz wäre ja das Gleichsetzungsverfahren. Hab ich eingesetzt: (x+4,5)²-6,5 = (x-6)²-3
    Dann ausgerechnet. Am Ende kommt dann aber irgendwie raus: x+4,5 = x-3,5

    Hiiiiilfe :(

    Grüße.

    Also, erstmal keine Panik!!! ;)

    Das hört sich nach viel Rechenarbeit an, ist aber nur halb so wild. Der Trick ist, dass du einfach erstmal diese große Aufgabe in kleinere Aufgaben aufteilst.

    Fangen wir also an:

    1.

    Zitat

    Eine Gerade g1 geht durch die Punkte P(-4,5|-6,5) und Q(6|-3).

    Bilde daraus erstmal die Funktion von g1. eine Funktion ist immer so aufgebaut:

    y = m*x + c , wobei m die Steigung ist und c die Konstante.

    Die Steigung sagt an, um wie viel die Gerade ansteigt, wenn sie einen Schritt nach rechts geht. P(-4,5|-6,5) und Q(6|-3) bedeutet, dass die Gerade 10,5 Schritte nach Rechts geht und dabei um 3 Schritte nach oben geht. Wie lautet dann die Steigung m?

    Lösung: m = Delta y / Delta x = (Y1 - Y2) / (x1-x2) = (-6,5 - (-3)) / (-4,5 - 6) = 1/3

    Nun hast du m und kannst folgende Gleichung mit dem ersten Punkt aufstellen:

    g1 = 1/3 * x + c
    -6,5 = 1/3 * (-4,5) + c | nach c umstellen:
    -6,5 - 1/3 * (-4,5) = c
    -5 = c

    due gerade g1 ist also:

    g1 = 1/3 * x - 5

    2.

    Zitat

    Eine weitere Gerade g2 mit der Steigung m = -1 verläuft durch R(-2|1).

    Auch hier kannst du wieder eine Funktion aufstellen:

    m ist netterweise bekannt, auch einen Punkt hast du gegeben, dann kannst du alles in die geradenfunktion einfügen:

    1 = -1*(-2) + c | c ist unbekannt, aber du kannst wieder nach der konstanten umstellen:

    1 + 1*(-2) = c
    3 = c

    also ist die konstante gleich 3.


    die funktion lautet also: g2 = -1*x + 3

    Einmal editiert, zuletzt von Tofu (4. Oktober 2010 um 18:53)

    3.

    Zitat

    Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes T der beiden Geraden.

    Den Schnittpunkt beider Geraden berechnen ist ganz einfach. Du findest einfach raus, bei welchem x-Wert dieser Schnittpunkt ist. Dann hast du schonmal die x-koordinate und kannst damit die y-koordinate bestimmen, indem du diese x-koordinate in irgend einer der beiden funktionen einsetzt.

    also erstmal x rausfinden mit gleichsetzungsverfahren:

    schnittpunkt bedeutet, dass beide funktionen die gleichen y und x werte haben. also gilt: y1 = y2. dann gilt auch

    1/3 * x - 5 = -1*x + 3 | nach x umstellen
    1/3*x + x = 3+5
    4/3*x = 8
    x = 6

    Das heißt bei x = 6 treffen sich beide geraden. also müssen wir noch die y.-koordinate rausfinden, indem wir diesen x-wert in eine der beiden funktionen einsetzen:

    g1 = 1/3 * x - 5 mit x = 6 lautet:
    y1 = 1/3 * 6 -5
    y1 = -3

    Das heißt, dass T bei (6/-3) liegt.

    weißt du was spiegeln an der y-achse bedeutet, wenn du die schnittpunkt S haben willst?

    Wenn du den Punkt S hast, kannst du mittels der scheitelpunktform die funktion der parabel aufstellen. die funktion sieht aus aus in allgemeiner form:

    p = (x + x-wert-des-scheitelpunktes-mit-verkehrtem-vorziechen)² + y-wert-des-scheitelpunktes

    einfach die werte vom scheitelpunkt einsetzen. dann hast du die funktion der parabel.

    die schnittpunkte mit der geraden g2 berechnest du wieder über gleichsetzen.

    Einmal editiert, zuletzt von Tofu (4. Oktober 2010 um 19:16)

    Oh *-*
    Danke, danke daaaanke *-*
    Grrr. Ich hasse Mathe -.-
    Aber jetzt bin ich schonmal weiter. Erscheint ja alles im Prinzip ganz logisch :)
    Aber mal ne ganz kleine Frage; du hast ja geschrieben "1 + 1*(-2) = c
    3 = c"
    Aber irgendwie sagt mein Taschenrechner dass -1 rauskommt. Also am Ende dann -x-1. Ich bin verwirrt .__.

    Aber danke nochmal ;)

    Hast Recht, bei g2 kommt y = –1x – 1 raus.
    Ansonsten geh so vor wie Tofu es vorgemacht hat.
    Der Schnittpunkt ist (3/–4), der Scheitelpunkt folglich (–3/-4).
    Parabelgleichung: y = (x-xS)² + yS , wobei xS und yS die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
    Die Schnittpunkte der Parabel und g2 sind (–1/0) und (-6/5).


    ahrg, stimmt. hab mich verrechnet, großes sorry!