Ableitungen

    Hi,

    ich habe hier 3 Ableitungsaufgaben wo mir Jmd mal kurz auf dei Sprünge helfen müsste.

    1. Ln (x/x) ....Lösung : (1 - ln x)/x²
    Ich bin mit den ABleitungsregeln gut vertraut aber hier komme ich nicht auf den Zähler.

    2. fk(x) = kx*Wurzel aus (4-kx) ...Lösung f'k'(x) =[k*(8-3kx)] / [2*Wurzel aus (4-kx)]

    3. fk(x) = [-k*(x²+k²)] / [(x²-k²)²] ...Lösung f'k(x) = [2kx*(x²+3k²)] / [(x²-k²)³]

    Ich habe die Aufgaben schon mehrmals durchgerechnet, bin aber leider nicht aufs Ergebnis gekommen.

    Hoffe ihr könnt helfen, Danke !

    OK

    also zu 1. ...
    Äußere x Innere ...zur inneren u=x u'=1 & v=x v'=1 (Quotientenregel)

    f'(x) = 1/ (x/x) * (x-x)/(x²)
    f'(x) = 0 ??

    (Wahrscheinlich total falscher ansatz, aber ich hab sonst alle ln-aufgaben richtig *g)

    zu 3. Quotientenregel

    u= -k*(x²+k²) u'= -2kx
    v= (x²-k²)² v'= 4x³-4xk² Wenn ich dann alles Zusammenrechne komme ich auf ...

    f'(x) = [2kx^5+4k³x³-6k^5x]/[(x²-k²)^4]

    Dann hab ich per Polynomdivision (x²-k²) im Zähler ausgeklammert, aber da bekam ich ein Rest.
    Ergebnis der Ausklammerung war
    [2kx³ + 2k³x - (8k^5x ) / (x²-k²)] ...was den Zähler schon ähnlich auschauen lässt. Ich vermute ich habe weiter oben bereits einen Fehler.

    Ok, ich muss zuerst mal klären, welche Funktionen überhaupt abgeleitet werden sollen, in einem ursprünglichen Post finde ich das etwas unübersichtlich. Bitte überprüfe, ob es sich um die folgenden Funktionen handelt:

    1. [tex]f(x)=\ln{\frac{x}{x}}[/tex]
    2. [tex]f_k(x)=kx\sqrt{4-kx}[/tex]
    3. [tex]f_k(x)=\frac{-k(x^2+k^2)}{(x^2-k^2)^2}[/tex]

    Falls diese Formeln richtig sind, dann ist die Ableitung von 1 tatsächlich 0 denn [tex]ln{\frac{x}{x}}=\ln1=0[/tex] und damit ein konstanter Wert.

    Für die anderen würde ich gern eine Bestätigung haben bevor ich Zeit dafür aufwende.

    Fehler, Ausdruck, Erklärung nötig
    Keine Korrekturen per Privatnachricht.

    Nun, dann muss bei 1. die Aufgabenstellung fehlerhaft sein.

    So, mal kurz das, was ich zusammengestümpert habe:

    2. [tex]f_k'(x)=k\sqrt{4-kx}-\frac{k^2x}{2\sqrt{4-kx}}[/tex]
    Deine Lösung ist korrekt und sogar die gleiche, wie in der vorgegebenen Lösung. Die lässt sich nämlich noch zusammenfassen (Tip: Auf den gleichen Nenner bringen).

    3. Deine Ableitungen für u und v sind richtig und deine Ableitung insgesamt vermutlich auch. Wie kommt man also auf das vorgefertigte Ergebnis?

    Gehen wir von deinem aus, dann lässt sich v' noch vereinfachen [tex]v'=4x(x^2-k^2)[/tex]

    Wenn wir jetzt mit den geklammerten Ausdrücken die Ableitung bilden kommen wir auf:
    [tex]f_k'(x)=\frac{-2kx(x^2-k^2)^2-4kx(x^2-k^2)(x^2+k^2)}{(x^2-k^2)^4}[/tex]

    Wie man hier sieht, kann man [tex](x^2-k^2)[/tex] noch einmal herauskürzen:
    [tex]=\frac{-2kx(x^2-k^2)-4kx(x^2+k^2)}{(x^2-k^2)^3}[/tex]

    Wenn man jetzt noch so weit es geht im Zähler vereinfacht (Klammern auflösen, zusammenfassen, ausklammern) dann kommt man auf die vorgegebene Lösung.

    Fehler, Ausdruck, Erklärung nötig
    Keine Korrekturen per Privatnachricht.

    1. [TEX]f(x)=\frac{\ln{x}}{x}[/TEX]

    [TEX]\ln {x} \rightarrow \frac{1}{x}[/TEX] und [TEX]\frac{1}{x} \rightarrow - \frac{1}{x^2}[/TEX]

    [TEX]f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} + \ln{x} \cdot - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{\ln{x}}{x^2}[/TEX]

    Zitat von LeAdx


    1. Ln (x/x) ....Lösung : (1 - ln x)/x²


    Ja, deshalb hab ich nachgefragt :D Jezt ist nur die Frage, ob es ein Fehler beim Abschreiben oder ein Fehler in der Aufgabe ist.

    Fehler, Ausdruck, Erklärung nötig
    Keine Korrekturen per Privatnachricht.