Tangente an kurvenfremden (und auf der Kurve liegenden Punkt) berechnen

Die Tangenten-Berechnung mit einem Punkt außerhalb der Kurve ist doch etwas komplizierter, ich habe mal ein Beispiel gerechnet:
f(x) = 1/4 x² – x + 3 ; P(5/2,5)
Am unbekannten Berührpunkt (x₀/f(x₀)) muss die Steigung der Funktion ( f'(x₀) ) gleich der Tangentensteigung ( m = (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) = (2,5-f(x₀))/(5-x₀) ) sein, also im Beispiel:
f'(x₀) = 0,5x₀ – 1 = (2,5–f(x₀))/(5-x₀)
Daraus ergibt sich die Formel von nif7. Es ist hier aber günstiger, sie nach f(x₀) aufzulösen, da das unbekannt ist:
f(x0) = f(x) – f'(x₀) ∙ (x–x₀) = 2,5 – (0,5x₀–1)∙(5–x₀) = 0,5x₀² – 3,5x₀ + 7,5
Was diese Gleichung für eine Bedeutung hat, ist mir auch nicht so ganz klar, aber man muss sie mit der ursprünglichen Funktionsgleichung gleichsetzen:
0,5x₀² – 3,5x₀ + 7,5 = 0,25x₀² – x₀ + 3
Dann alles auf eine Seite, teilen, p-q-Formel und ich erhalte hier zwei x-Werte (2,354 und 7,646), weil ja auch 2 Tangenten möglich sind.

Diese Gleichung ist eine Näherung der Funktion. Es ist eine Taylorentwicklung, die nach dem linearen Teil abgebrochen wird.

Erfüllt eine Funktion gewisse Bedingungen (wie zb. stetig Differenzierbar). Dann kann man sie in einer Taylorreihe um einen Punkt x₀ entwickeln.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x-x₀) + f''(x₀) (x-x₀)² + ....

Wenn man das wirklich bis zum 'Ende' macht, dann stimmt dieses Gleichheitszeichen.

Wenn ich diese Entwicklung nach dem 2. Term abbreche, dann bekomme ich eine Geradengleichung heraus, die an der Stelle x₀ genau den Wert f(x₀) hat und f'(x₀) als Steigung.

Man definiert sich also die Entwicklung als Tangentengleichung:
g(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x-x₀)

Diese muss jetzt Randbedingungen erfüllen, da sie durch einen Punk (x|g(x)) gehen Soll.
x₀ kann dann bestimmt werden, damit ist dann auch die Tangentengleichung gegeben.

Also so wie nif7 erklärt hat. Hoffe damit ist mir eine saubere Herleitung der Tangentengleichung gelungen. Bei dem Start von Dörby wird imho nicht klar, warum ich die Werte des Punktes P als x und f(x) auffassen kann, immerhin soll der Punkt ja nicht auf der Funktion liegen.

Edit:

Bei der Taylorentwicklung fehlt bei den Summanden noch das 1/(n!) und damit bei der 2. Ableitung ein 1/2.

Ups! Natürlich ist der y-Wert von P nicht f(x). Anfangs hatte ich y und y₀ benutzt und muss dann wohl beides Mal einfach f(..) geschrieben haben.

Der Blick in Richtung Taylorreihe drängt sich durch die Formel quasi auf, es gibt aber einen entscheidenden Unterschied: Der Entwicklungspunkt (x₀/f(x₀)) ist bei der Taylorreihe üblicherweise bekannt, hier ist er es nicht!
Da eine Tangente bestimmt werden soll und Tangenten Geraden sind, ist es logisch, dass es nicht weiter als bis zum linearen Glied geht.

Wenn du den Berührpunkt (x₀/f(x₀)) kennst (z.B. wenn der Punkt auf dem Graphen liegt), dann setzt du m=f'(x₀) und die Punktkoordinaten in die allgemeine Geradengleichung
y = m∙x + b
ein, um b auszurechnen und fertig ist die Tangentengleichung.

Wenn der Berührpunkt nicht bekannt ist, ist es (auch ohne Taylorreihe) leider komplizierter (s.o.).