Tangente an kurvenfremden (und auf der Kurve liegenden Punkt) berechnen

1. offizieller Beitrag

    Hallo nochmal.
    Kann mir jemand das Schema erklären, wie man eine Tangente berechnet wenn folgendes gegeben ist: Funktion einer Parabell und die Koordinaten eines kurvenfremden Punktes? Und wie rechnet man das wenn es kein kurvenfremder Punkt ist, sondern einer der drauf liegt?

    Irgendwie muss man da diese Tangentengleichung verwenden... irgendwas mit u. Kann mir das jemand erklären? Wäre echt super nett. Ich brauche nur das Schema, also wo man wann was einsetzt und wie der Formeln lauten... das wäre cool. Danke =)

    I kid you not.

    • Offizieller Beitrag

    Hi!
    Liegt der Punkt nun auf dem Graphen, so kannst du über die Ableitung des Funktionsterms die Steigung der Tangente in diesem Punkt berechnen. Einen Punkt der Tangentengleichung ist mit dem Punkt auf der Gerade gegeben. Mit dem Wissen kannst du die Gleichung der Gerade (y = mx + t) aufstellen, die die gesuchte Tangente ist...

    Für den Punkt außerhalb des Graphens, gibt es die Formel:
    f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)
    Dabei ist (x|f(x)) der gegebene Punkt, (x0|f(x0)) der Punkt auf dem Graphen, durch den die Tangente verläuft).
    Mehr Infos auch hier:
    http://www.oberprima.com/index.php/tang…aphen/nachhilfe

    LG nif7

    Menschen, die etwas wollen, finden Wege. Menschen, die etwas nicht wollen, finden Gründe.

    Die Tangenten-Berechnung mit einem Punkt außerhalb der Kurve ist doch etwas komplizierter, ich habe mal ein Beispiel gerechnet:
    f(x) = 1/4 x² – x + 3 ; P(5/2,5)
    Am unbekannten Berührpunkt (x₀/f(x₀)) muss die Steigung der Funktion ( f'(x₀) ) gleich der Tangentensteigung ( m = (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) = (2,5-f(x₀))/(5-x₀) ) sein, also im Beispiel:
    f'(x₀) = 0,5x₀ – 1 = (2,5–f(x₀))/(5-x₀)
    Daraus ergibt sich die Formel von nif7. Es ist hier aber günstiger, sie nach f(x₀) aufzulösen, da das unbekannt ist:
    f(x0) = f(x) – f'(x₀) ∙ (x–x₀) = 2,5 – (0,5x₀–1)∙(5–x₀) = 0,5x₀² – 3,5x₀ + 7,5
    Was diese Gleichung für eine Bedeutung hat, ist mir auch nicht so ganz klar, aber man muss sie mit der ursprünglichen Funktionsgleichung gleichsetzen:
    0,5x₀² – 3,5x₀ + 7,5 = 0,25x₀² – x₀ + 3
    Dann alles auf eine Seite, teilen, p-q-Formel und ich erhalte hier zwei x-Werte (2,354 und 7,646), weil ja auch 2 Tangenten möglich sind.

    Diese Gleichung ist eine Näherung der Funktion. Es ist eine Taylorentwicklung, die nach dem linearen Teil abgebrochen wird.

    Erfüllt eine Funktion gewisse Bedingungen (wie zb. stetig Differenzierbar). Dann kann man sie in einer Taylorreihe um einen Punkt x₀ entwickeln.

    f(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x-x₀) + f''(x₀) (x-x₀)² + ....

    Wenn man das wirklich bis zum 'Ende' macht, dann stimmt dieses Gleichheitszeichen.

    Wenn ich diese Entwicklung nach dem 2. Term abbreche, dann bekomme ich eine Geradengleichung heraus, die an der Stelle x₀ genau den Wert f(x₀) hat und f'(x₀) als Steigung.

    Man definiert sich also die Entwicklung als Tangentengleichung:
    g(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x-x₀)

    Diese muss jetzt Randbedingungen erfüllen, da sie durch einen Punk (x|g(x)) gehen Soll.
    x₀ kann dann bestimmt werden, damit ist dann auch die Tangentengleichung gegeben.


    Also so wie nif7 erklärt hat. Hoffe damit ist mir eine saubere Herleitung der Tangentengleichung gelungen. Bei dem Start von Dörby wird imho nicht klar, warum ich die Werte des Punktes P als x und f(x) auffassen kann, immerhin soll der Punkt ja nicht auf der Funktion liegen.

    Edit:

    Bei der Taylorentwicklung fehlt bei den Summanden noch das 1/(n!) und damit bei der 2. Ableitung ein 1/2.

    Ups! Natürlich ist der y-Wert von P nicht f(x). Anfangs hatte ich y und y₀ benutzt und muss dann wohl beides Mal einfach f(..) geschrieben haben.

    Der Blick in Richtung Taylorreihe drängt sich durch die Formel quasi auf, es gibt aber einen entscheidenden Unterschied: Der Entwicklungspunkt (x₀/f(x₀)) ist bei der Taylorreihe üblicherweise bekannt, hier ist er es nicht!
    Da eine Tangente bestimmt werden soll und Tangenten Geraden sind, ist es logisch, dass es nicht weiter als bis zum linearen Glied geht.

    Danke euch allen, aber ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung was eine Taylorreihe ist.

    Gibt es nicht eine Lösung bei der man nur Tangenten-Formel, Geraden-Formel etc. braucht?

    I kid you not.

    Wenn du den Berührpunkt (x₀/f(x₀)) kennst (z.B. wenn der Punkt auf dem Graphen liegt), dann setzt du m=f'(x₀) und die Punktkoordinaten in die allgemeine Geradengleichung
    y = m∙x + b
    ein, um b auszurechnen und fertig ist die Tangentengleichung.

    Wenn der Berührpunkt nicht bekannt ist, ist es (auch ohne Taylorreihe) leider komplizierter (s.o.).

    Danke...

    Morgen schreib ich meine Matehprüfung und ich hab schon bisschen Angst =/ Die zählt so viel wie 2 Schuljahre... aber naja irgendwas wird man wohl schreiben können ._.

    I kid you not.

    Ich habe eine Möglichkeit gefunden es zu berechnen.
    Gegeben ist:
    f(x)
    Koordinaten eines Kurvenfremden punktes

    Schritt 1:
    f(x) ableiten zu f'(x)

    Schritt 2:
    f (x) und f'(x) in die Tangentenformel einsetzen ( y = f'(u) * (X-u) + f(u)

    Schritt 3:
    Kurvenfremder Punkt ebenfalls einsetzen. Anschließend nach nach u auflösen. Es gibt meist 2 oder mehr ergebnisse.

    Die zustande kommenden "us" sind die X-Koordinaten der Berührpunkte an der Funktion. Anschließend setzt man diese Punkte in die Funktion f(x) ein. Nun hat man auch die Y-Werte der Stellen. Jetzt lässt sich noch folgendermaßen die Funktion der Tangenten erstellen:

    X-Werte jeweils die die Ableitung f'(x) einsetzen. Jetzt hat man die Steigung der Tangenten. Die Steigung setzt man zusammen mit den dazu gehörenden X- und Y-Werten in die standard Geradenformel ein (Y = mX + b). Nun hat man auch b (Schnittpunkt mit Y-Achse)

    Nun einfach in die Standardformel für Geraden eintragen (Y = mX + b) <-natürlich nur das m und das b

    Und fertig.

    I kid you not.

    Einmal editiert, zuletzt von Tamahawk (9. Juni 2010 um 23:18)