Polynomdivision

Ich erspare dir die Erklärung warum das funktioniert sondern erkläre dir erstmal nur wie es geht.

Nehmen wir zum Beispiel (3x³ - 2x² + x + 15) / (x + 3)

Im ersten Schritt betrachtest du nur die höchsten Potenzen beider Polynome, also 3x³ und x. 3x³ lässt sich einfach durch x dividieren das ist 3x² und das ist schon ein Teil des Ergebnisses

(3x³ - 2x² + x + 15) / (x + 3) = 3x²....

Jetzt multiplizierst du dieses Ergebnis 3x² mit (x+3), das ist (3x³ + 9x²). Das schreibt man nun so unter das erste Polynom, dass gleiche Potenzen untereinander stehen:

(3x³ - 2x² + x + 15) / (x + 3) = 3x²....
-(3x³ + 9x²)

Nun Subtrahiert man einfach die untereinanderstehenden Elemente, wobei man einfach die Elemente des oberen Polynoms, unter denen nichts steht, einfach nach unten übernommen werden:

(3x³ -  2x² + x + 15) / (x + 3) = 3x²....
-(3x³ +  9x²)
------------
  0x³ - 11x² + x + 15

Da 0x³ wegfällt bleibt nur noch -11x² + x + 15 übrig.
Mit diesem Rest macht man jetzt wieder das gleiche. Zuerst die höchsten Potenzen dividieren (vom Restpolynom und vom Divisor), das ist jetzt -11x² / x = -11x, das wird zum bisherigen Ergebnis hinzugefügt, so dass jetzt 3x² - 11x dort steht. Das -11x multipliziert man wieder mit dem Divisor und schreibt es unter das Restpolynom und subtrahiert genau wie zuvor:

(3x³ -  2x² +   x + 15) / (x + 3) = 3x² - 11x
-(3x³ +  9x²)
------------
 (0x³ - 11x² +   x + 15) / (x + 3)
     -(-11x² - 33x)
     --------------
         0x² + 34x + 15

Das Ganze wiederholt man immer so lange, bis entweder kein Rest mehr übrig bleibt oder bis der Polynomgrad des Restpolynoms - also das x mit der höchsten Potenz - kleiner ist der Grad des Divisors:

(3x³ -  2x² +   x +  15) / (x + 3) = 3x² - 11x + 34
-(3x³ +  9x²)
------------
 (0x³ - 11x² +   x +  15) / (x + 3)
     -(-11x² - 33x)
     --------------
        (0x² + 34x +  15) / (x + 3)
             -(34x + 102)
             ------------
               (0x -  87)

Was hier bleibt ist -87 als Restpolynom (das 0x fällt ja wieder weg) und das hat den Grad 0. (x + 3) hat den Grad 1 also ist jetzt das Ende erreicht. Den Rest dividiert duch den Divisor muss man nun noch zum Ergebnis addieren und schon ist man fertig.

Das Ergebnis lautet also insgesamt

3x² - 11x + 34 - 87/(x+3)