Funktion untersuchen!?

    Hallo!

    Ich habe ein Problem: Wir sollen die folgende Funktion untersuchen:

    f(x)=x³-5x²+3x-9

    Wir sollen hierbei folgende Kriterien untersuchen:

    1. Globalverhalten
    2. Symmetrie
    3. Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkte)
    4. Definitionsbereich
    5. Wertebereich
    (6. Graph zeichnen)

    6. krieg ich ja auch wohl noch hin, wenn ich da irgendwelche werte einsetze, aber ich weiß nicht, was mit den anderen begriffen überhaupt gemeint ist und wie ich das angehen solL!

    ich war die letzten paar unterrichtsstunden krank und wir schreiben bald eine klausur... aber weil ich die arbeit nich verhauen möchte, will ich das verstehen... :(

    kann mir das hier vllt ijmd schritt für schritt erklären (vom rechenweg bis zur lösung))???

    lg

    lukas lü.

    Der Definitionsbereich sind alle Zahlen, die man einsetzen kann, d.h. in diesem Fall ganz ℝ. Der Definitionsbereich wird erst wichtig bei Funktionen, die nicht überall definiert sind, z.B. Wurzel, Logarithmus, gebrochen rationale Funktionen u.ä.

    Der Wertebereich sind alle Zahlen, die rauskommen können. Bei ganzrationalen Funktionen, wo der größte Exponent ungerade ist (hier: 3), ist das auch ganz ℝ.
    Wenn der Faktor davor positiv ist (hier: 1), dann kommt der Graph von –∞ und steigt irgendwann nach +∞. Wenn der Faktor davor negativ ist, dann ist es genau umgekehrt.
    Dazwischen kann es einen Bereich geben, in dem der Graph in die andere Richtung verläuft (-> Globalverhalten), nämlich genau dann, wenn es Extrempunkte gibt.

    Extrempunkte: 1. Ableitung bilden, gleich 0 setzen und nach x auflösen. Bei deiner Funktion gibt es zwei Lösungen (x=3 und x=1/3). Die x-Werte setzt du dann in die Original-Funktionsgleichung ein und rechnest jeweils den y-Wert dazu aus. Der Punkt mit dem größeren y-Wert ist logischerweise der Hochpunkt.

    Symmetrie wird üblicherweise nur bezüglich Nullpunkt ("Punktsymmetrie") oder y-Achse ("Achsensymmetrie") betrachtet. Wenn alle Exponenten ungerade sind, ist der Graph punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten gerade sind (–9 = –9x⁰), ist der Graph achsensymmetrisch. Kommt beides vor, ist er nicht symmetrisch.
    Allgemein ist aber jede Funktion dritten Grades symmetrisch zu ihrem Wendepunkt.

    1. Globalverhalten:
    Kann mir darunter momentan nichts vorstellen, sry.

    2. Symmetrie:
    Gemeint sind hier wohl die zwei einfachen Fälle, die da wären:
    Punktsymetrie zum Ursprung -> f(-x) = -f(x)
    Achsensymetrie an der y-Achse -> f(-x) = f(x)

    3. Extremstellen:
    Wir nehmen Vorrausetzungen wie stetig diffbar als gegeben an.
    Dann muss die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und hinreichend f''(x) != 0 erfüllt sein. Wenn man sich die Bedeutung der Steigung bei einem Graphen mal anschaut, dann kann man aus der hinreichenden Bedingung auch die Art der Extremstelle ablesen.

    4. Definitionsbereich:
    Das sind die Zahlenwerte, die man in die Funktion einsetzen darf. Polstellen werden deswegen in der Regel rausgenommen, sonst würde man Probleme bekommen.

    5. Wertebreich:
    Das sind die Werte die f(x) annehmen kann, wenn das x nur aus dem Definitionsbereich kommt.

    Und jetzt wollen wir bisschen Eigenleistung (Rechnungen) bzw gezielte Fragen sehen ;)