Exponentielles Wachstum

Hallöchen...

hab mich jetzt schon gefühlt durchs halbe Internet gekämpft, aber war erfolglos, möglicherweise auch, weil mir einfach vernünftige Stichworte gefehlt haben, weiß nicht so genau...
jedenfalls hab ich ein großes Problem mit einigen Übungsaufgaben, die wir für usnere bevorstehende Mathearbeit bekommen haben. Ich verstehe nur Bahnhof.

Die erste Aufgabe:
Eine radioaktive Substanz habe die Halbwertszeit T. Gib an, nach welcher Zeit in etwa ein Tausendstel der Substanz noch übrig ist. Mache durch Deinen rechnerischen Ansatz deutlich, dass die zeitliche Länge von T für diese Frage völlig gleichgültig ist.

Mein Lösungsansatz:
T = 1/2
2T = 1/4
3T = 1/8
4T = 1/16
5T = 1/32
6T = 1/64
7T = 1/128
8T = 1/256
9T = 1/512
10T = 1/1024 => Nach 10 Halbwertszeiten ist etwa ein Tausendstel der Ausgangssubstanz übrig.
Sehe ich das richtig? Wenn ja: Kann man das irgendwie schneller berechnen und ist es möglich, eine exakte Zeit zu ermitteln, in der nur noch dieses Taustendstel übrig ist? Ich wüsste nicht wie... Schließlich wären bei zB einer HWZ von 10 Jahren 100 Jahre vergangen, bei 10 Minuten eben nur 10 Minuten... oder habe ich da einen schlimmen Logikfehler? oO

Aufgabe 2:
In einem fernen Lande X hat sich die Bevökerung in den letzten 42 Jahren exakt verdreifacht. Ermittle die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate in %.

Mein Lösungsansatz:
Hier bekomme ich große Probleme. Habe die Formel
Kn=K0 * (1+ p%/100)^n genommen,
also Kn=aktuelle Bevölkerung, K0=ursprüngliche Bevölkerung, p%=Wachstumsrate und n=Anzahl der Jahre.
Das Problem ist jetzt, dass ich ja nur eine konkrete Angabe für die Anzahl der Jahre habe.
aus Kn könnte ich zwar K0*3 machen, aber ein konkretes Ergebnis bekomme ich dann ja auch nicht... irgendwer, der mir helfen kann?

Aufgabe 3:
Gib für Aufgabe 2 einen grundsätzlich unterschiedlichen Rechenweg an und zeige, dass beide Male dasselbe herauskommt.

Mein Lösungsansatz:
Hier bin ich vollkommen überfragt, ich weiß nicht, was ich für einen Ansatz finden soll.

Wäre wahnsinnig lieb, wenn mir jemand von euch helfen könnte... ich verzweifle hier schon. ;D

Liebe Grüße

Bei der 1 kann man den gleichen Anatz wählen wie bei der zweiten.

K_n = K_0 * (0.5)^n , mit n = Anzahl der Halbwertszeiten.

Zur 2:
K_n = K_0 * (1+ p/100)^n , sieht schonmal gut aus.

Jetzt haben wir ein Wertepaar: n=42 und K_n = 3*K_0

=> 3 * K_0 = K_0 * (1+p/100)^42
Da sich die Bevölkerung verdreifacht steht fest, dass K_0 != 0 (ungleich) ist und man durch K_0 teilen darf. Rest darfst du dann wieder.

Okay, 1. versteh ich jetzt schonmal.

Bei 2. hab ich gemerkt, dass ich da in meinen vorherigen Versuchen einen dämlichen Fehler gemacht hab, hab nämlich was falsch gekürzt. Habe diesmal wie folgt gerechnet:

Kn = K0 * (1+ x/100)^n

K0*3 = K0 * (1+ x/100)^42

3 = (1+ x/100)^42

42. Wurzel aus 3 (wusste nicht, wie man das schreibt ;D) = 1 + x/100

100 * 42. Wurzel aus 3 = 100 + x

100 * 42. Wurzel aus 3 - 100 = x

Also wäre x ungefähr 2,65.

Ist das richtig so?

Bräuchte aber immer noch dringend Hilfe bei 3., falls jemand eine Idee hat.