Differenzialrechnung

    Zeichne durch dei Punkte P(1/1) und Q(4/4) einer Normalparabel eine Sekante.
    a) Mache plausibel, dass es eine Tangente an einer Normalparabel gibt, die zu dieser Sekante parallel ist.
    b) Berechne die Stelle, an der zu dieser Sekanten parallelen Tangente die Normalparabel berührt.
    c) Untersuche die selbe Fragestellung für andere selbst gewählte Sekanten der Normalparabel. Was fällt dir auf? Versuche, deine Vermutung allgemein zu beweisen.

    KANN MIR BITTE JEMAND BEI DIESER AUFGABE WEITERHELFEN???DANKE! :smile:

    Wenn es sich wirklich um eine Normalparabel handeln soll, dann kann Q nicht in (4/4) liegen, sondern eher in (4/16). Oder ist der Punkt Q in (2/4) ?

    Dann liegt aber der Punkt p nicht mehr in (1/1). Außerdem glaube ich, daß man mit Normalparabel immer nur x^2 meint, also ohne irgendwlche Verschiebungsterme.

    Wenn Du das einmal annimmst (also f(x) = x^2) und dann willkürlich verschiedene Punkte herausgreifst, dann wirst Du feststellen, daß der x-Wert bei der die Sekante dieselbe Steigung wie die Tangente hat immer genau in der Mitte der beiden x-Werte liegt. Wenn z.B. x(P)=2 und x(Q)=3 ist dann ist der gesuchte x-Wert 2,5.

    Wenn man das so akzeptiert, dann habe ich übrigens für alle Teilaufgaben die Lösung. Willst Du hören bzw. sehen?

    a.) Dass es eine Tangente an einer Normalparabel gibt, die zu dieser Sekante parallel ist, kann man folgendermaßen plausibel machen:

    Die Sekante hat die Steigung der Geraden durch P und Q. Die gesuchte Tangente muss dieselbe Steigung haben wie diese Gerade bzw. wie die Sekante. Im Punkt P(1/1) ist die Steigung im f'(x)=2x=2*1=2, im Punkt Q(2/4) ist die Steigung 4. Die Steigung der Geraden aber beträgt nur 3. Da die Steigung der Parabel stetig anwächst, muss es also einen x-Wert geben, bei dem die Steigung 3 ist.

    b.) Die Steigung der Geraden ist 3 und berechnet sich zu f'(x)=2x.
    Da 3 aber im Punkt (x/y) ebenfalls die Steigung der Tangenten ist, setzt Du beides gleich:

    3=2x

    Daraus bestimmt Du dann den gesuchten x-Wert. In diesem Fall 1,5

    Um das zu beweisen, solltest Du hingehen und die Schritte, die Du vorher mit "echten" Zahlen berechnet hast nun mit den Variablen durchrechnen:
    Wie berechnet sich die Steigung der Sekante?
    Wie berechnet sich die Ableitung?
    Gleichsetzen!
    Nach x auflösen und die binomischen Formeln drauf haben!

    Dann erscheint die Lösung, daß x = (x(Q)+x(P))/2 ist, was ja nichts anderes ausdrückt als, das, was man schon vermuten konnte.

    Aber selbst wenn es sich um eine verschobene Parabel handelt: Die Aufgabenstellung lautet ja nicht: Wie lautet die Gleichung der Parabel?
    Das heißt, Du verschiebst sie einfach so, daß Du f(x)=x^2 hast!
    Was für die Normalparabel x^2 gilt, gilt auch für alle anderen genauso geöffneten Parabeln, die Du sonstwohinverschoben hast.

    ACHTUNG:

    Hier stehen teilweise doch ziemlicher mist.
    Darum würde ich alles was irgendwelche Werte drin hat erstmal vergessen und die Parabel aufstellen. Das ist durchaus möglich mit diesen Punkten.
    f'(x) = 2x ist falsch!