Intervallhalbierungsverfahren

Könnte mir jemand dieses Verfahren anhand von dieser Funktion erklären:

x³-2

??

Was soll mit dem Verfahren gemacht werden?

Ok ich vermute mal, es geht um bestimmung der Nullstellen.

Vorraussetzung ist erstmal, dass die Funktion streng monoton ist. Wir nehmen die Funktion wie hier im Beispial als streng monoton steigend an.
Dann brauchen wir ein erstes Intervall. wir nennen die grenzen jetzt mal I_1 und I_2.
Das Intervall muss so gewählt werden, dass f(I_1) < 0 und f(I_2) > 0 ist.

In diesem Intervall befindet sich dann auf jedenfall eine Nullstelle. Die wollen wir jetzt finden.

Wir halbieren das Intervall: I_h = (I_2-I_1)/2

Jetzt gibt es drei möglichkeiten:
1. f(I_h) < 0
Wegen der monotonie von f wissen wir, dass die Nullstelle zwischen I_h und I_2 liegt. Wir haben ein neues Intervall und machen damit die halbierung noch einmal.

2. f(I_h) > 0
Jetzt wissen wir, dass die Nullstelle zwischen I_1 und I_h ist. Auch hier dann den schritt mit der Intervallhalbierung wiederholen.

3. f(I_h) = 0
Nullstelle gefunden

Wenn man das ganze oft genug durchführt kommt man beliebig nah an die nullstelle heran, unter umständen erreicht man sie aber nie.

Hab anwendungsbezug vergessen.

Wir setzen I_1 = 0 und I_2 = 2
Dann ist I_h = 1 und f(1) = -1 < 0
I_h neue untere Grenze

Nächsterunde mit I_1 = 1 und I_2 = 2
I_h = 1,5 und f(1,5) = 1,375 > 0
I_h neue obere Grenze

Und noch einmal mit I_1 = 1 und I_2 = 1,5
I_h = 1,25 und f(1,25) = -0,046875 < 0
I_h neue untere Grenze

Weiter mit I_1 = 1,25 und I_2 = 1,5
...to be continued

Vorraussetzung ist erstmal, dass die Funktion streng monoton ist. Wir nehmen die Funktion wie hier im Beispial als streng monoton steigend an.
Dann brauchen wir ein erstes Intervall. wir nennen die grenzen jetzt mal I_1 und I_2.
Das Intervall muss so gewählt werden, dass f(I_1) < 0 und f(I_2) > 0 ist.

NEIN. Die Voraussetzung ist sogar noch schwächer. Es genügt wenn die Funktion stetig ist, und für x1<x2 gilt, dass f(x1)<0 und f(x2)>0 bzw. f(x1)>0 und f(x2)>0. Jetzt schneidet die Funktion mindestens einmal die x-Achse.

Es gibt stetige Funktionen mit f(x1) < 0 < f(x2), die keine Nullstelle haben.

Klar wird eine solche Funktion irgendwo den Wert 0 annehmen, aber Wikipedia definiert Nullstelle als:
Bei reellen Funktionen sind das genau die Stellen der x-Achse, an denen der Graph einer Funktion f(x) die x-Achse berührt oder schneidet.

ich versteh das intervallhalbierungsverfahren zur näherungsweisen Berechnung von Quadratzahlen nicht ? ein beispiel bei der wurzel 5 wäre nich schlecht ._.