Hilfe! Funktiosnscharen

    Wir nehmen momentan Funktiosnscharen durch und ich leider total den Überblick verloren...kann mir jemand helfen?

    Es geht um folgendeSchar: fa(x)=-1/a(x-2)^2*(x+4)

    Aufgaben:


    a)Ermitteln sie die Koordinaten der Extrema in Abhängigkeit vom Parameter a.
    b)Weisen sie nach : Die Koordinaten des Wendepunktes Wa des Graphen von fa sind das arithmetische Mittel der entsprechenden Koordinaten der Extrema.Welche Eigenschaften des Graphen von fa kann hieraus durch geometrische Interpretation vermutet werden?
    c)Für welchen Wert des Parameters a hat die Wendetagente die Steigung 2 ?
    d)Können die Wendenormale und die Gerade durch die beiden Extrema einer Funktion der Schar orthogonal zueinander liegen`?


    Bitte um schnelle Lösungen...
    Mfg
    :)

    Bei deiner Funktionsangabe ist unklar, was im Zähler und im Nenner steht....
    Wenn die Wendepunkt-Koordinaten das arithmetische Mittel der Extrempunkt-Koordinaten sind, dann gehe ich von einer Funktion 3. Grades aus, also
    fa(x) = -1/a * (x-2)² * (x+4)

    a) Zunächst ausmultiplizieren, dann geht das Ableiten einfacher.
    fa(x) = -1/a * (x³ -12x +16)
    fa'(x) = -1/a * (3x² -12) = -3/a * (x-2) * (x+2) (3 ausklammern und binom. Formel)
    fa''(x) = -1/a * (6x) = -6/a * (x-0)
    Nullstellen von fa'(x) aus der faktorisierten Form ablesen: +2 , -2
    und in fa(x) einsetzen: f(2)=0 ; f(-2)=-32/a
    -> Extrempunkte: E1 (2 | 0) ; E2 (-2 | -32/a)

    b) Nullstelle von fa''(x) aus der faktorisierten Form ablesen: 0
    und in fa(x) einsetzen: fa(0)=-16/a
    x-Koordinate: 0 ist die Mitte zwischen +2 und -2
    y-Koordinate: -16/a ist die Mitte zwischen 0 und -32/a
    Der Graph ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt. (Kann man aus dieser mageren Erkenntnis aber nur vermuten)

    c) "Wendetangente hat Steigung 2" -> fa'(xW) = 2 , xW = 0
    also: 2 = -1/a * (3*0² -12) = 12/a -> a=6

    d) Wenn das rechte Extremum weiter oben liegt, steigt der Graph zwischen den Extrema monoton an, d.h. Steigung positiv. Genauso tut es die Verbindungsgerade zwischen den Extrempunkten. (entsprechend umgekehrt, wenn das rechte Extremum weiter unten liegt)
    Da für die Steigungen orthogonaler Geraden gelten muss: m1 * m2 = -1 , kann dieser Fall nicht eintreten, da m1 und m2 entweder beide positiv oder beide negativ sind und damit das Produkt positiv.

    Gruß Dörrby