Ich versetehe die Aufgaben nciht
Bestimmen Sie aus den angegebenen Normalformen des quadtratischen Funktionsterms die jeweiligen Scheitelpunktformen und zeichnen Sie die zugehörigen Parabeln. Welchen Scheitelpunkt und welche Achsenschnittpunkte haben die einzelnen Graphe? Ermitteln, Sie sofern vorhanden die Schnittpunkte der einzelnen Parabeln mit dem Graphen der linearen Funktion g:g(x)=x+1;D(g)=IR
1.f(x)=x²-8x+12
2.f(x)=-x²+5x+12
3.f(x)=0,2x²+1,2
Hi!
1.
f(x) = x² - 8x + 12
Um die Scheitelpunktform zu bestimmen, nimmst du dir eine quadratische Ergänzung vor:
Wenn ein Faktor vor dem x² steht, diesen bei allen Summanden mit x ausklammern:
f(x) = (x² - 8x) + 12
Quadratisch ergänzen:
f(x) = (x² - 8x + 16) - 16 + 12
Nun kannst du in der Klammer die binomische Formel anwenden:
f(x) = (x - 4)² - 4
Und schon hast du die Scheitelpunktform.
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt also bei S(4|-4)
Um die Achsenschnittpunkte zu bekommen, setzt du den jeweils anderen Parameter (x oder y) gleich 0 und errechnest dir den anderen:
Schnittpunkt mit y-Achse:
y = x² - 8x + 12
x = 0
y = 12
Mit der x-Achse machst du es dann analog...
Um den Schnittpunkte mit der Gerade zu ermitteln, setzt du die beiden Funktionsterme gleich:
x² - 8x + 12 = x + 1
Und errechnest dir das x:
x² - 9x + 11 = 0
....
Die anderen Aufgaben solltest du jetzt selber lösen können...
LG nif7
Ich nehme mal als Beispiel die zweite Funktion (f(x)=-x²+5x+12), die anderen gehen genauso, sind aber teilweise einfacher.
Bei Parabeln gibt es folgende besonderen Punkte:
- y-Achsenabschnitt: ablesbar aus der Normalform (die Zahl ohne x), hier: +12
- Scheitelpunkt: ablesbar aus der Scheitelpunktform.
a) Umrechnen in die Scheitelpunktform:
f(x) = -1x² +5x +12 |Zahl vor dem x² ausklammern
= -1*(x² -5x -12) |quadratische Ergänzung
= -1*(x² -5x +2,5² -2,5² -12)
= -1*( (x - 2,5)² - 18,25 ) |Klammer wieder ausrechnen
= -(x - 2,5)² +18,25
-> S( 2,5 / 18,25 )
b) Trick: xS = -b/2a = -5 / (2*(-1)) = +2,5
yS = f(xS) = -2,5² +5*2,5 +12 = 18,25
- Nullstellen, d.h. Schnittpunkte mit der x-Achse (falls es welche gibt)
a) aus der Normalform über die p-q-Formel bestimmbar.
0 = -x² +5x +12 |: (-1), d.h. durch die Zahl vor dem x²
0 = x² -5x -12 |p-q-Formel: mit den Minuszeichen aufpassen!
x = -(-5)/2 +- Wurzel( (-5/2)² - (-12) )
x = 2,5 +- Wurzel(18,25) -> x1 = 6,772 ; x2 = -1,772
b) aus der Scheitelpunktform direkt bestimmbar.
0 = -(x - 2,5)² +18,25 |+(x - 2,5)²
(x - 2,5)² = 18,25 |Wurzel
x - 2,5 = +-Wurzel(18,25) |+2,5
x = 2,5 +- Wurzel(18,25) -> x1 = 6,772 ; x2 = -1,772
Schnittpunkt mit anderen Graphen: Terme gleichsetzen, um x zu bestimmen:
f(x) = -x² +5x +12 ; g(x) = x +1
-> -x² +5x +12 = x +1 |+x² -5x -12 (alles auf eine Seite)
0 = x² -4x -11 |p-q-Formel
x = -(-4)/2 +- Wurzel( (-4/2)² - (-11) )
x = 2 +- Wurzel(15) -> x1 = 5,873 ; x2 = -1,873
x-Werte jeweils in eine der Funktionsgleichungen einsetzen (egal welche, sinnvoll: die einfachere) und das zugehörige y ausrechnen.
g(x1) = x1 + 1 = 6,873 ; g(x2) = x2 + 1 = -0,873
Gruß Dörrby
