Beweis: Grenzwert vom Kosinus

  • Wie kann man den Grenzwert des Kosinus beweisen?
    Im Buch steht noch iwas von "Zeigen sie das lim cos(x->0) [x]=1 gilt.

    Da kann man ja umformen sin²x + cos²x=1 zu
    lim(x->0) [Cos²x]= lim(x->0 ) [1-sin²x]

    Weiß jetzt nicht ob das was miteinander zu tun hat.
    Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke

  • Bei Beweisen muss man immer wissen, was schon bekannt ist.

    Wenn ihr z.B. schon bewiesen habt, dass lim(x->0) sin(x) = 0 ist, dann kommt man mit der Gleichung sin²x + cos²x = 1 weiter, denn dann ist auch:
    lim(x->0) sin²(x) = 0 und lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) Wurzel(1 - sin²(x)) = 1

    Wenn ihr z.B. die Reihendarstellung des Cosinus kennt, geht's mit:
    lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) (1 - x²/2 + x^4/24 -+...) = 1

    Aber eigentlich ist das ja klar, weil die Cosinusfunktion stetig ist und damit gilt:
    lim(x->0, x>0) cos(x) = lim(x->0, x<0) cos(x) = cos(0) = 1

    Gruß Dörrby