Extremwertaufgabe :(

1. offizieller Beitrag

    Folgende Aufgabe:

    Auf den Seiten des Rechtecks ABCD wird die Strecke x abgetragen. Für welchen Wert von x wir der Flächeninhalt des Parallelogramms am kleinsten?

    So sieht das Ganze ungefähr aus:
    [Blockierte Grafik: http://img8.imageshack.us/img8/8700/unbenannt1w.jpg]
    Achja, Die Strecke AB des Rechtecks ist 10 cm, BC 5 cm.

    Mein Ansatz:

    A (Parallelogramm) = 50 cm
    A(x) = 50 - (10 - x) * x^2 : 2 - (5 - x) * x^2 : 2
    = 50 - 10x + x^2 - 5x + x^2
    = 2x^2 - 15x + 50

    Muss ich das Ganze jetzt in die Scheitelpunktform bringen? Dabei krieg ich in diesem Fall Schwierigkeiten. :(

    Danke schonmal für Antworten!

    • Offizieller Beitrag
    Zitat von Anonymous


    Mein Ansatz:

    A (Parallelogramm) = 50 cm
    A(x) = 50 - (10 - x) * x^2 : 2 - (5 - x) * x^2 : 2
    = 50 - 10x + x^2 - 5x + x^2
    = 2x^2 - 15x + 50


    1. A ist ein Flächeninhalt, also cm²
    2. Warum immer * x² ?
    3. Du willst den Flächeninhalt der vier Dreiecke bekommen. Dabei ergänzen sich die gegenüberliegenden Dreiecke zu einem Rechteck (also das : 2 weglassen).
    D.h. du hast:
    A(x) = 50 - (10 - x) * x - (5 - x) * x

    LG nif7 :)

    okay und wie rechen ich dann weiter wenn ich A(x) = 50 - (10 - x) * x - (5 - x) * x habe ...

    mein problem ist i wie die 50 ... ich komme dann i wie auf

    2(x+7,5)²-128,125


    stimmt nich oder ? kann mir da vill jemand helfen?

    • Offizieller Beitrag

    Hi!
    Nun hast du A(x):
    A(x) = 50 - (10 - x) * x - (5 - x) * x
    A(x) = 50 - 10x + x² - 5x + x²
    A(x) = 2x² - 15x + 50

    Mithilfe von A(x) kannst du nun das Minimum entweder über die Scheitelpunktsform oder über die 1. Ableitung berechnen.

    Scheitelpunktsform:
    A(x) = 2 * (x² - 7,5x) + 50
    A(x) = 2 * (x² - 7,5x + 3,75² - 3,75²) + 50
    A(x) = 2 * (x - 3,75)² + 21.875

    1. Ableitung:
    A'(x) = 4x - 15

    A'(x) = 0
    0 = 4x - 15
    4x = 15
    x = 15/4 = 3,75

    Als Ergebnis kommt in beiden Fällen x = 3,75 raus.
    LG nif7 :)