Hallo, heute hat uns unser Mathelehrer folgende Aufgabe gegeben:
Ein gerade Kegel hat den Radius r und die Höhe 2r. Durch ihn wird eine zur Grundfläche parallele Ebene gelegt, die den Kegel in zwei volumgleiche Teilkörper zerlegt
Welchen Abstand hat die Ebene von der Grundfläche ( in Abhängigkeit von r)?
So, als ich mich dann nun daranmachte habe ich dann wie folgt angefangen:
Ich habe den Radius der parallelen Grundfläche x gennant, nun müsste ja der Abstand zur Kegelspitze 2x sein, laut einem ( ich weis nicht welchem ) Strahlensatz. Nun habe ich die Hälfte des Gesamtvolumens mit dem Volumen des oberen Kegels gleichgesetzt.
Daraus kam folgendes:
1/2 * 1/3 * Pi * r² * 2r = 1/3 * Pi * x² * 2x
1/3 * Pi * r³ = 2/3 * Pi * x³ | * 3
Pi * r³ = 2 * Pi * x³ | : Pi
r³ = 2 * x³ | 2
r³/2 = x³
x = ³√(r³/2)
Nun müsste die gesuchte Strecke ja 2r - 2x sein, nun habe ich die gesuchte Strecke mal y genannt, nun kam folgendes dabei raus:
y = 2r - 2x
y = 2r - 2 * ³√(r³/2)
Nun klingt der Rechenweg meiner Meinung nach logisch, nur kommt mir das Ergebnis etwas komisch vor. Hätte da Jemand einen anderen Lösungsweg, mit anderen Ergebnis? Beziehungsweise könnte mir, falls vorhanden, meine Fehlerquelle sagen?
P.S.: Dies ist die letzte Aufgabe der Mathematik Abschlussprüfung mittlerer Reife 2008
MfG Eike A.