Graph einer ganzrationalen Funktion...

1. offizieller Beitrag

    "Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse an der Stelle x=4 und hat in W (2/3) einen Wendepunkt."

    Wie löse ich jetzt diese Aufgabe?


    Hilfe bitte !!!!!

    • Offizieller Beitrag

    Die allgemeine Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades lautet: f(x) = ax³ + bx² +cx +d
    Hier sind die Koeffizienten a, b, c und d zu bestimmen.

    Wenn die Funktion an der Stelle x = 4 die x-Achse berührt, erfüllt der Punkt P1(4/0) die obige Gleichung:

    f(4)= 0 = 64a + 16b + 4c + d

    Ebenso der Wendepunkt:

    f(2) = 3 = 8a + 4b +2c + d

    Der Graph berührt die x-Achse an der Stelle x = 4, d. h., an der Stelle x = 4 liegt eine waagerechte Tangente vor.

    f'(x) = 3ax² + 2bx + c

    f'(4) = 0 = 48a + 8b + c

    Im Punkt W(2/3) liegt ein Wendepunkt vor, d. h., die zweite Ableitung nimmt für den Wert x = 2 den Wert Null an:

    f''(x) = 6ax² + 2b

    f''(2) = 0 = 12a +2b

    Damit hast du ein Gleichungssystem bestehend aus vier Gleichungen.

    Wenn du die Koeffizienten bestimmst, ergibt sich: a = 0,1875
    b = -1,125
    c = 0
    d = 6

    Damit erhältst du die gesuchte Funktionsgleichung als

    [TEX]f(x) = 0,1875x^3 -1,125x^2 + 6[/TEX]

    Falls du noch die Nullstellen bestimmen sollst:
    "... berührt die x-Achse an der Stelle x=4 ... " bedeutet auch: Hier liegt eine doppelte Nullstelle vor, d.h. Faktor (x - 4)² .
    Für die dritte Nullstelle teilst du die Funktionsgleichung durch diesen Faktor (Polynomdivision), also:
    (3/16 x³ - 9/8 x² + 0 x + 6) : (x² - 8 x + 16) = 3/16 x + 3/8 = 3/16 (x + 2) -> Nullstelle x=-2