Quadratische gleichungen

1. offizieller Beitrag

    Wie kann man die gleichungen lösen? 1

    1. Bitte kann mir jemand helfen die gleichung zu lösen. (1) 100%
    2. Dankeschön. (0) 0%

    (x-3)^2-49=0
    ×^2+x-2=0

    • Offizieller Beitrag

    a) (x - 3)² - 49 = 0

    (x - 3)² = 49

    [TEX]x_1 = 3 + 7 = 10[/TEX]

    [TEX]x_2 = 3 - 7 = - 4[/TEX]

    Probe: (10 - 3)² - 49 = 0 und (-4 - 3)² - 49 = 0

    b) x² + x - 2 = 0 (Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten.)

    Nach der Formel:

    [TEX]x_1 = -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+2}[/TEX]

    [TEX]x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1[/TEX]

    [TEX]x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = -2[/TEX]

    Probe: 1 + 1 - 2 = 0 und (-2)² -2 - 2 = 0

    Falls es darum geht, möglichst viele verschiedene Lösungsverfahren darzustellen:

    1. direkte Gleichungsumformung: siehe Olivius, Aufgabe a

    2. p-q-Formel: siehe Olivius, Aufgabe b

    3. Quadratische Ergänzung (= binomische Formel rückwärts)
    b) x² + x - 2 = 0
    -> Frage: (x + ?? )² = x² +1x + ... -> ?? = 1/2 (immer die Hälfte von der Zahl beim x)
    (x + 1/2)² -1/4 -2 = 0
    -> Erklärung: Wenn man (x + 1/2)² ausrechnet, kommt nicht nur x²+1x raus, sondern auch noch 1/4. Das muss gleich wieder abgezogen werden.
    (x + 1/2)² -9/4 = 0 | +9/4
    (x + 1/2)² = 9/4 | Wurzel
    x + 1/2 = [TEX]\pm[/TEX] 3/2 | -1/2
    x = -1/2 [TEX]\pm[/TEX] 3/2
    -> x1 = -1/2 + 3/2 = +1 ; x2 = -1/2 - 3/2 = -2

    4. Satz von Vieta
    Die Lösungen x1 und x2 einer quadratischen Gleichung hängen folgendermaßen mit dem p und q in der Normalform zusammen:
    (x - x1)(x - x2) = xx - xx2 - x1x + x1x2 = x² -(x1+x2)x + x1x2 -> p=-(x1+x2) ; q=x1x2
    Das kann man nutzen: Wenn man zwei Zahen findet, die multipliziert die einfache Zahl (q) ergeben und addiert die Zahl beim x (p), kann man den Term faktorisieren. Die Lösungen der Gleichung sind dann die Gegenzahlen der gefundenen Zahlen.
    Beispiel b:
    0 = x² +1x -2
    -2 = -2*1 oder -1*2 -> Mit Addieren testen: -2+1 = -1 passt nicht ; -1+2 = +1 passt, also:
    0 = x² +1x -2 = (x - 1)(x + 2) -> Wenn ein Faktor 0 wird, ist das Produkt 0
    Lösungen: x1=+1 ; x2=-2
    Beispiel a:
    0 = (x - 3)² - 49 = x² -6x +9 -49 = x² -6x -40
    -40 = -1*40 = -2*20 = -4*10 = -5*8 = -8*5 = -10*4 = -20*2 = -40*1 -> -10+4=-6
    0 = x² -6x -40 = (x-10)(x+4) -> x1=+10 ; x2=-4